Seja X uma variável exponencial de média 1 e seja Y=1 /(X+1). Obtenha a função de densidade de probabilidade de Y.

Passo 1

O enunciado diz que X é exponencial de média 1. Como a média de uma exponencial é 1/lambda, concluímos que lambda=1. Assim
fX(x)=e^-x, x>=0
Queremos a densidade de Y=1/(X+1) usando mudança de variável.

Passo 2

Determinamos o suporte de Y. Como Xin[0,infty), temos
Y=1X+1in(0,1],
isto é, 0<y<=1.

Passo 3

Invertendo a relação y=1/(x+1), obtemos
x=1y-1

Passo 4

Calculamos a derivada de x em função de y:
dxdy=-1y^2,
logo l|dx/dyr|=1/y^2.

Passo 5

Pela fórmula de transformação,
fY(y)=fXl(x(y)r),l|tfracdxdyr| =e^-l(1y-1r);1y^2 =e^,1-tfrac1yy^2,
válido para 0<y<=1, e fY(y)=0 fora desse intervalo.

Resposta

fY(y)= dfrace^,1-tfrac1yy^2,&0<y<=1,[6pt] 0,&caso contrário á]

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