Um mol de um gás ideal sofre uma expansão hipotética de acordo com a seguinte expressão: P=k V^{2}, onde k=2,7 \times 10^{10} \mathrm{N} / \mathrm{m}^{8}. O volume do gás passa de 2,0 Litros para 4,0 Litros. Nessas condições, determine para o gás (a) o trabalho realizado, (b) a variação de energia interna e (c) o calor trocado com a vizinhança.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede três quantidades:
  • Dados do problema (peguei estes valores do enunciado):
    • A expressão do processo é P = k\,V^{2}.
    • k = 2{,}7\times10^{10}\\ \mathrm{N\,m^{-8}}.
    • Quantidade de gás: n=1 mol.
    • Volume inicial: V_{1}=2{,}0\\ \text{L} = 2{,}0\times10^{-3}\\ \mathrm{m^{3}}.
    • Volume final: V_{2}=4{,}0\\ \text{L} = 4{,}0\times10^{-3}\\ \mathrm{m^{3}}.
  • O que o enunciado pede:
    (a) o trabalho realizado pelo gás durante a expansão;
    (b) a variação da energia interna \Delta U do gás;
    (c) o calor trocado Q com a vizinhança.
Observação importante (escolha feita para poder calcular \Delta U): como o enunciado não especifica o tipo do gás, vou assumir que é um gás ideal monoatômico. Essa é uma escolha padrão em muitos exercícios; para um gás monoatômico vale C_{V}=\tfrac{3}{2}R. Vou explicitar e usar essa hipótese quando calcular \Delta U.

Passo 2

Cálculo do trabalho: teoria e fórmula que vamos usar.
  • Conceito: o trabalho realizado por um gás em um processo quasistático é dado por
W=\int_{V_{1}}^{V_{2}} P\,\mathrm{d}V,
onde, por convenção adotada aqui, W>0 quando o gás realiza trabalho sobre o meio (expansão).
  • No nosso caso P=kV^{2}. Substituindo na integral:
W=\int_{V_{1}}^{V_{2}} k\,V^{2}\,\mathrm{d}V.
  • Integração (pequena aula): integrar V^{2} em relação a V \tfrac{V^{3}}{3}. Então
W = k\left[\frac{V^{3}}{3}\right]_{V_{1}}^{V_{2}} = \frac{k}{3}\bigl(V_{2}^{3}-V_{1}^{3}\bigr).

Passo 3

Cálculo numérico do trabalho W.
  • Primeiro calcule \Delta V^{3}=V_{2}^{3}-V_{1}^{3}. Usando V_{1}=2{,}0\times10^{-3}\\ \mathrm{m^{3}} e V_{2}=4{,}0\times10^{-3}\\ \mathrm{m^{3}}:
V_{1}^{3}=(2{,}0\times10^{-3})^{3}=8{,}0\times10^{-9}\\ \mathrm{m^{9}}, \qquad V_{2}^{3}=(4{,}0\times10^{-3})^{3}=64{,}0\times10^{-9}\\ \mathrm{m^{9}}.
V_{2}^{3}-V_{1}^{3}= (64{,}0-8{,}0)\times10^{-9}=56{,}0\times10^{-9}=5{,}6\times10^{-8}\\ \mathrm{m^{9}}.
  • Agora aplique na expressão de W:
W=\frac{k}{3}\bigl(V_{2}^{3}-V_{1}^{3}\bigr) = \frac{2{,}7\times10^{10}}{3}\times 5{,}6\times10^{-8}\\ \mathrm{J}.
  • Calcule passo a passo:
\frac{2{,}7\times10^{10}}{3}=0{,}9\times10^{10}=9{,}0\times10^{9},
W=9{,}0\times10^{9}\times5{,}6\times10^{-8}=9{,}0\times5{,}6\times10^{1}=50{,}4\times10^{1}=504\\ \mathrm{J}.
Portanto, o trabalho realizado pelo gás é W=504\\ \mathrm{J} (positivo, pois houve expansão).

Passo 4

Cálculo da variação da energia interna \Delta U: teoria e como aplicar aqui.
  • Teoria (aula rápida): para um gás ideal, a energia interna depende apenas da temperatura. Para n mols,
\Delta U = n C_{V}\,\Delta T,
onde C_{V} é a capacidade térmica molar a volume constante e \Delta T=T_{2}-T_{1}.
  • Relação com P e V: pela equação dos gases ideais,
P V = n R T \quad\Rightarrow\quad T=\frac{P V}{n R}.
Como no processo P=kV^{2}, temos
T=\frac{kV^{3}}{nR}.
Logo a diferença de temperatura é
\Delta T = \frac{k}{nR}\bigl(V_{2}^{3}-V_{1}^{3}\bigr).
  • Substituindo em \Delta U:
\Delta U = n C_{V}\,\Delta T = n C_{V}\,\frac{k}{nR}\bigl(V_{2}^{3}-V_{1}^{3}\bigr) = \frac{C_{V}}{R}\,k\bigl(V_{2}^{3}-V_{1}^{3}\bigr).
Repare que o n cancela: para este processo particular \Delta U não depende do número de mols explicitamente na expressão final (desde que se use C_{V} molar).
  • Escolha de C_{V}: como mencionado no Passo 1, vou assumir que o gás é monoatômico. Para gás ideal monoatômico vale
C_{V}=\frac{3}{2}R.
Então
\frac{C_{V}}{R}=\frac{3}{2}=1{,}5,
e
\Delta U = 1{,}5\,k\bigl(V_{2}^{3}-V_{1}^{3}\bigr).

Passo 5

Cálculo numérico de \Delta U (usando os mesmos \Delta V^{3}=5{,}6\times10^{-8}\\ \mathrm{m^{9}}).
\Delta U = 1{,}5\times 2{,}7\times10^{10}\times5{,}6\times10^{-8}\\ \mathrm{J}.
Calcule passo a passo:
1{,}5\times2{,}7\times10^{10}=4{,}05\times10^{10},
\Delta U = 4{,}05\times10^{10}\times5{,}6\times10^{-8}=4{,}05\times5{,}6\times10^{2}=22{,}68\times10^{2}=2268\\ \mathrm{J}.
Portanto, \Delta U=2268\\ \mathrm{J}. (Positivo: a energia interna aumentou, o que corresponde ao aumento de temperatura do gás.)
Observação opcional de verificação: calculando T_{1} e T_{2} dá valores coerentes:
T_{1}=\frac{kV_{1}^{3}}{nR}=\frac{2{,}7\times10^{10}\times8{,}0\times10^{-9}}{1\times8{,}314}\approx25{,}98\\ \mathrm{K},
T_{2}=\frac{2{,}7\times10^{10}\times64{,}0\times10^{-9}}{8{,}314}\approx207{,}86\\ \mathrm{K},
\Delta T\approx181{,}9\\ \mathrm{K},
e \Delta U=nC_{V}\Delta T=1\times\frac{3}{2}R\times181{,}9\approx2268\\ \mathrm{J}, compatível com o cálculo direto acima.

Passo 6

Cálculo do calor trocado Q usando a Primeira Lei da Termodinâmica.
  • A Primeira Lei (forma usual usada aqui) é
\Delta U = Q - W,
onde Q é o calor recebido pelo sistema (positivo se entra calor) e W é o trabalho realizado pelo sistema (positivo se o sistema realiza trabalho).
  • Isolando Q:
Q=\Delta U + W.
  • Substituindo os valores encontrados:
Q = 2268\\ \mathrm{J} + 504\\ \mathrm{J} = 2772\\ \mathrm{J}.
Interpretação: Q>0 → durante a expansão o gás recebeu calor da vizinhança; parte desse calor aumentou a energia interna e parte foi convertida em trabalho realizado pelo gás.

Resposta

(a) W=504\\ \mathrm{J}
(b) \Delta U=2268\\ \mathrm{J}
(c) Q=2772\\ \mathrm{J}

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