Um mol de um gás ideal sofre uma expansão hipotética de acordo com a seguinte expressão:
, onde
. O volume do gás passa de 2,0 Litros para 4,0 Litros. Nessas condições, determine para o gás (a) o trabalho realizado, (b) a variação de energia interna e (c) o calor trocado com a vizinhança.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede três quantidades:
-
Dados do problema (peguei estes valores do enunciado):
- A expressão do processo é
. -
. - Quantidade de gás:
mol. - Volume inicial:
. - Volume final:
.
- A expressão do processo é
-
O que o enunciado pede:
(a) o trabalho realizado pelo gás durante a expansão;
(b) a variação da energia internado gás;
(c) o calor trocadocom a vizinhança.
Observação importante (escolha feita para poder calcular
): como o enunciado não especifica o tipo do gás, vou assumir que é um gás ideal monoatômico. Essa é uma escolha padrão em muitos exercícios; para um gás monoatômico vale
. Vou explicitar e usar essa hipótese quando calcular
.
Passo 2
Cálculo do trabalho: teoria e fórmula que vamos usar.
- Conceito: o trabalho realizado por um gás em um processo quasistático é dado por
onde, por convenção adotada aqui,
quando o gás realiza trabalho sobre o meio (expansão).
- No nosso caso
. Substituindo na integral:
- Integração (pequena aula): integrar
em relação a dá . Então
Passo 3
Cálculo numérico do trabalho
.
- Primeiro calcule
. Usando e :
- Agora aplique na expressão de
:
- Calcule passo a passo:
Portanto, o trabalho realizado pelo gás é
(positivo, pois houve expansão).
Passo 4
Cálculo da variação da energia interna
: teoria e como aplicar aqui.
- Teoria (aula rápida): para um gás ideal, a energia interna depende apenas da temperatura. Para
mols,
onde
é a capacidade térmica molar a volume constante e
.
- Relação com
e : pela equação dos gases ideais,
Como no processo
, temos
Logo a diferença de temperatura é
- Substituindo em
:
Repare que o
cancela: para este processo particular
não depende do número de mols explicitamente na expressão final (desde que se use
molar).
- Escolha de
: como mencionado no Passo 1, vou assumir que o gás é monoatômico. Para gás ideal monoatômico vale
Então
e
Passo 5
Cálculo numérico de
(usando os mesmos
).
Calcule passo a passo:
Portanto,
. (Positivo: a energia interna aumentou, o que corresponde ao aumento de temperatura do gás.)
Observação opcional de verificação: calculando
e
dá valores coerentes:
e
, compatível com o cálculo direto acima.
Passo 6
Cálculo do calor trocado
usando a Primeira Lei da Termodinâmica.
- A Primeira Lei (forma usual usada aqui) é
onde
é o calor recebido pelo sistema (positivo se entra calor) e
é o trabalho realizado pelo sistema (positivo se o sistema realiza trabalho).
- Isolando
:
- Substituindo os valores encontrados:
Interpretação:
→ durante a expansão o gás recebeu calor da vizinhança; parte desse calor aumentou a energia interna e parte foi convertida em trabalho realizado pelo gás.
Resposta
(a)
(b)
(c)
(b)
(c)