O tempo de processamento necessário para executar uma tarefa foi medido em relação a um sistema. Uma amostra coletada forneceu os seguintes resultados (em \mathrm{ms}): 10,13,14,11,13,14,11,13,14,15,12,14,15,13,14,12,12,11,15,16, 13,15,14,14,15,15,16,12,10,15. Existem evidências que o tempo médio e a variância do sistema são de no máximo 12 ms e 2 \mathrm{~ms}^{2}. Supondo que os tempos sejam aproximadamente normais, verifique, ao nível de significância de 5 \%, se a afirmação da empresa é verdadeira.
Resposta: Para o tempo médio, Rejeita H_{0}, pois o z_{o}=4.44 é maior que z_{\alpha}=1.64. Para variância, aceita H_{0}, pois \chi_{\text {calc }}^{2}=41.41 é menor que \chi_{5 \% ; 29}^{2}=42.56.

Passo 1

O enunciado nos dá uma amostra de n=30 tempos (em \mathrm{ms}) e pede para testar, ao nível de significância de 5\%, se a média verdadeira do sistema é no máximo 12 ms e a variância verdadeira é no máximo 2, \mathrm{ms}^2. Assumimos os tempos aproximadamente normais e faremos dois testes independentes:
– Teste de uma cauda para a média com H_0:\mu\le12 e H_1:\mu>12, usando o teste t (desconhecemos \sigma).
– Teste de uma cauda para a variância com H_0:\sigma^2\le2 e H_1:\sigma^2>2, usando o teste qui-quadrado.

Passo 2

Calculamos a média amostral \bar x e a variância amostral s^2. Dos 30 valores temos
\sum_{i=1}^{30} x_i = 401 \quad\Longrightarrow\quad \bar x = \frac{401}{30}\approx13{,}3667.
A soma dos quadrados é \sum x_i^2=5443, então
s^2 = \frac{\sum x_i^2 - n\,\bar x^2}{n-1} = \frac{5443 - 30\cdot(13{,}3667)^2}{29} \approx2{,}863,
e s\approx\sqrt{2{,}863}\approx1{,}692.

Passo 3

Para testar H_0:\mu\le12 contra H_1:\mu>12, usamos
t_0 = \frac{\bar x - 12}{s/\sqrt{n}} = \frac{13{,}3667 - 12}{1{,}692/\sqrt{30}} \approx4{,}43.
O valor crítico para t_{0{,}95,29} (uma cauda, \alpha=0{,}05) é cerca de 1{,}699. Como
t_0 = 4{,}43 > 1{,}699,
rejeitamos H_0 para a média.

Passo 4

Para testar H_0:\sigma^2\le2 contra H_1:\sigma^2>2, o estatístico é
\chi^2_0 = \frac{(n-1)\,s^2}{\sigma_0^2} = \frac{29\cdot2{,}863}{2} \approx41{,}52.
O valor crítico para \chi^2_{0{,}95,29} (uma cauda, \alpha=0{,}05) é aproximadamente 42{,}56. Como
\chi^2_0 = 41{,}52 < 42{,}56,
não rejeitamos H_0 para a variância.

Resposta

Para a média, rejeita-se H_0 ( \mu\le12 ms).
Para a variância, não se rejeita H_0 ( \sigma^2\le2, \mathrm{ms}^2).

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