O tempo de processamento necessário para executar uma tarefa foi medido em relação a um sistema. Uma amostra coletada forneceu os seguintes resultados (em \mathrm{ms}): 10,13,14,11,13,14,11,13,14,15,12,14,15,13,14,12,12,11,15,16, 13,15,14,14,15,15,16,12,10,15. Estudos anteriores informam que o tempo médio e a variância do sistema são de 15 ms e 2 \mathrm{~ms}^{2} Supondo que os tempos sejam aproximadamente normais, verifique se a afirmação é verdadeira com o nível de significância de 2 \%.
Resposta: Para o tempo médio, Rejeita H_{0}, pois o z_{o}=-6.31 é menor que z_{\alpha_{2}}=2.325. Para variância produzida pela fábrica, aceita H_{0}, pois \chi_{\text {calc }}^{2}=41.41 está entre \chi_{99 \% ; 29}^{2}=14.26 e \chi_{1 \% ; 29}^{2}=49.59.

Passo 1

O enunciado fornece uma amostra de n=30 tempos (em ms) e afirma que o sistema tem média \mu_{0}=15 ms e variância \sigma_{0}^{2}=2 ms ^2. Assumindo normalidade dos tempos, vamos:
– testar H_{0}\colon \mu=15 contra H_{1}\colon \mu\neq15 ao nível \alpha=0,02 usando teste-z (variância conhecida);
– testar H_{0}\colon \sigma^{2}=2 contra H_{1}\colon \sigma^{2}\neq2 ao mesmo nível usando teste \chi^{2}.

Passo 2

Calculemos a média amostral
\sum_{i=1}^{30}x_{i}=401
\bar x=\frac{401}{30}\approx13,37
A estatística-z é
z_{0}=\frac{\bar x-\mu_{0}}{\sqrt{\sigma_{0}^{2}/n}} =\frac{13,37-15}{\sqrt{2/30}}\approx-6,31
Para \alpha=0,02 e teste bilateral, \alpha/2=0,01 e
z_{0,99}=2,326.
Como \bigl|z_{0}\bigr|=6,31>2,326, rejeita-se H_{0} para a média.

Passo 3

Calculemos a variância amostral:
\sum_{i=1}^{30}x_{i}^{2}=5443
S^{2}=\frac{\sum x_{i}^{2}-n\bar x^{2}}{n-1} =\frac{5443-30\cdot(13,37)^{2}}{29}\approx2,84
A estatística qui-quadrado é
\chi^{2}_{0}=\frac{(n-1)\,S^{2}}{\sigma_{0}^{2}} =\frac{29\cdot2,84}{2}\approx41,18
Para \alpha/2=0,01 e n-1=29, os limites críticos são
\chi^{2}_{0,01;29}=14,256 \quad\text{e}\quad \chi^{2}_{0,99;29}=49,588.
Como
14,256<41,18<49,588,
não se rejeita H_{0} para a variância.

Resposta

Para o tempo médio, rejeita-se H_{0}.
Para a variância, não se rejeita H_{0}.

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