Para um tempo t=0, a função de onda para o átomo de Hidrogênio é:
Psi(r, t=0)=1raiz10(2 Psi100+Psi210+raiz2 Psi211+ raiz3 Psi21,-1)
onde os subíndices são os valores dos números quânticos n, l, m. (i) Qual é o valor esperado para a energia do sistema? (ii) Qual é a probabilidade de encontrar o sistema com l=1, m=1 ?

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que em t=0 a função de onda do átomo de Hidrogênio é
Psi(r,0)=1raiz10l(2,Psi100+Psi210+raiz2,Psi211+raiz3,Psi2,1,-1r)
Cada Psinell m é um autovetor de energia do H com energia
En=-13,6 eVn^2
Precisamos de dois cálculos:
  1. o valor esperado da energia, que em mecânica quântica é lang<= Erang<==sumi |ci|^2,Ei;
    2) a probabilidade de achar o sistema com ell=1,m=1, que é simplesmente |c2,1,1|^2.

Passo 2

Vamos calcular lang<= Erang<=. Primeiro extraímos os coeficientes ci e seu quadrado:
  • Para Psi100: c100=2/raiz10implies|c100|^2=4/10.
  • Para cada estado com n=2:
    • Psi210: c=1/raiz10implies|c|^2=1/10.
    • Psi211: c=raiz2/raiz10implies|c|^2=2/10.
    • Psi2,1,-1: c=raiz3/raiz10implies|c|^2=3/10.
      Confere que 4/10+1/10+2/10+3/10=1, tá tudo normalizado.
      As energias são
E1=-13,6 eV, E2=-13,62^2=-3,4 eV
Então
lang<= Erang<= &=410(-13,6)+l(110+210+310r)(-3,4) &=-54,410-6cdot3,410 &=-5,44;-;2,04 &=-7,48;eV

Passo 3

Agora a probabilidade de ell=1,m=1 é só pegar |c2,1,1|^2:
|c2,1,1|^2=l(raiz2raiz10r)^2=210=0,2;(20%)

Resposta

(i) lang<= Erang<==-7,48 eV.
(ii) P(ell=1,m=1)=0,2;(20%)

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