No tempo t=0 uma partícula é representada pela função de onda
Calcule o valor médio de Psi(x, 0)=lll Axa & se & 0 <= x <= a Ab-xb-a & se & ab .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o valor médio de $ x $ para uma partícula cuja função de onda é dada no tempo $ t = 0 $. Isso está dentro do tópico de Mecânica Quântica, especificamente envolvendo o cálculo de valor esperado. Para resolver isso, vamos precisar entender como normalizar a função de onda e usar a definição de valor médio na mecânica quântica.

Passo 2

Primeiro, precisamos garantir que a função de onda $ \Psi(x, 0) $ esteja normalizada. Normalizar significa ajustar a função de onda para que a probabilidade total de encontrar a partícula em todo o espaço seja igual a 1. Isso é feito calculando a constante $ A $.

Passo 3

Vamos normalizar a função de onda calculando a integral do módulo ao quadrado de $ \Psi(x, 0) $ em todo o espaço:
Psi(x, 0)
Como $ \Psi(x, 0) $ é zero fora do intervalo $ [0, b] $, a integral fica:
integral-infty^infty |Psi(x, 0)|^2 dx = 1
Simplificando:
Psi(x, 0)
Calculando as integrais:
[0, b]
integral0^a |A xa|^2 dx + integrala^b |A b - xb - a|^2 dx = 1
Portanto:
A^2 ( 1a^2 integral0^a x^2 dx + 1(b - a)^2 integrala^b (b - x)^2 dx ) = 1
integral0^a x^2 dx = a^33
integrala^b (b - x)^2 dx = (b - a)^33
A^2 ( a^33 a^2 + (b - a)^33 (b - a)^2 ) = 1
A^2 ( a3 + b - a3 ) = 1
A^2 ( a + b - a3 ) = 1

Passo 4

Agora que temos $ A $, vamos calcular o valor médio de $ x $, que é dado por:
A
Como antes, a função é diferente de zero apenas entre 0 e $ b $:
x
Substituindo $ A = \sqrt{\frac{3}{b}} $:
lang<= x rang<= = integral-infty^infty x |Psi(x, 0)|^2 dx
Calculando as integrais:
Para $ 0 \leq x \leq a $:
b
Para $ a \leq x \leq b $:
Faça a substituição $ u = b - x $, então $ du = -dx $, quando $ x = a $, $ u = b - a $, e quando $ x = b $, $ u = 0 $:
lang<= x rang<= = integral0^a x |A xa|^2 dx + integrala^b x |A b - xb - a|^2 dx
A = raiz3b
Agora, substituindo de volta:
lang<= x rang<= = 3b ( 1a^2 integral0^a x^3 dx + 1(b - a)^2 integrala^b x (b - x)^2 dx )
0 <= x <= a
Simplificando:
integral0^a x^3 dx = a^44
Para simplificar ainda mais, deixe como está ou combinar os termos:

Resposta

Após simplificar, o valor médio de $ x $ é:
x

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