No tempo
uma partícula é representada pela função de onda
Calcule o valor médio de
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o valor médio de $ x $ para uma partícula cuja função de onda é dada no tempo $ t = 0 $. Isso está dentro do tópico de Mecânica Quântica, especificamente envolvendo o cálculo de valor esperado. Para resolver isso, vamos precisar entender como normalizar a função de onda e usar a definição de valor médio na mecânica quântica.
Passo 2
Primeiro, precisamos garantir que a função de onda $ \Psi(x, 0) $ esteja normalizada. Normalizar significa ajustar a função de onda para que a probabilidade total de encontrar a partícula em todo o espaço seja igual a 1. Isso é feito calculando a constante $ A $.
Passo 3
Vamos normalizar a função de onda calculando a integral do módulo ao quadrado de $ \Psi(x, 0) $ em todo o espaço:
Como $ \Psi(x, 0) $ é zero fora do intervalo $ [0, b] $, a integral fica:
Simplificando:
Calculando as integrais:
Portanto:
Passo 4
Agora que temos $ A $, vamos calcular o valor médio de $ x $, que é dado por:
Como antes, a função é diferente de zero apenas entre 0 e $ b $:
Substituindo $ A = \sqrt{\frac{3}{b}} $:
Calculando as integrais:
Para $ 0 \leq x \leq a $:
Para $ a \leq x \leq b $:
Faça a substituição $ u = b - x $, então $ du = -dx $, quando $ x = a $, $ u = b - a $, e quando $ x = b $, $ u = 0 $:
Agora, substituindo de volta:
Simplificando:
Para simplificar ainda mais, deixe como está ou combinar os termos:
Resposta
Após simplificar, o valor médio de $ x $ é: