Uma variável aleatória X segue o modelo normal com média 0 e desvio padrão 1. Determine:
P(X<0,58)

Passo 1

O enunciado dá claramente que X é uma variável aleatória com distribuição normal padrão, ou seja:
  • X \sim N(0,1), isto é, média \mu=0 e desvio padrão \sigma=1.
    A pergunta que devemos responder é:
  • Calcular P(X<0,58).

Passo 2

O que significa pedir P(X<0,58)?
Para uma normal padrão, a função de distribuição acumulada (CDF) \Phi dá exatamente essa probabilidade:
\Phi(z)=P(X\le z).
Portanto, calcular P(X<0,58) é equivalente a calcular \Phi(0,58). Observação leve: como a normal é contínua, P(X<0,58)=P(X\le 0,58), então usar «<» ou « \le» não altera o valor.

Passo 3

Como se obtém \Phi(0,58) na prática? Existem três maneiras comuns:
  1. Usar uma tabela da normal padrão (tabela z). Essas tabelas normalmente dão valores de \Phi(z) para z entre 0,00 e, por exemplo, 3,49.
    • Para z=0,58 procura-se a linha 0,5 e a coluna 0,08 (muitos livros organizam assim), e lê-se o valor correspondente.
  2. Usar uma calculadora científica ou software que tem a função de CDF da normal (por exemplo \text{normcdf} ou \Phi via biblioteca).
  3. Usar aproximações numéricas (séries, função erro \operatorname{erf}), que são mais trabalhosas à mão e não são necessárias aqui.
Vou usar a tabela padrão (é o método que normalmente se pede em provas sem calculadora).

Passo 4

Leitura da tabela da normal padrão: procurando z=0,58 na tabela obtém-se (valor padrão em tabelas estatísticas)
\Phi(0,58)=0,7190.
Nota explicativa rápida: em muitas tabelas aparece \Phi(0,57)=0,7157 e \Phi(0,59)=0,7224; o valor para 0,58 fica entre esses dois e aparece como 0,7190.

Passo 5

Interpretação do resultado:
\Phi(0,58)=0,7190 significa que a probabilidade de a variável X assumir um valor menor que 0,58 é aproximadamente 71,90\%. Em outras palavras, cerca de 72\% da massa da distribuição está à esquerda de 0,58.

Resposta

0,7190

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