Questão 1. Em certa população, a altura
de homens adultos pode ser modelada por
Qual a proporção de homens com altura entre 170 cm e 180 cm ?
Passo 1
O enunciado dá a distribuição da altura
em centímetros na população de homens adultos:
O que é pedido: achar a proporção de homens com altura entre
e
; isto é, calcular
Passo 2
Ideia geral (explicação didática e sem pular etapas). Para trabalhar com
é muito conveniente padronizar a variável para a normal padrão
. A padronização transforma qualquer valor
em
Aqui
é uma variável normal com média
e desvio padrão
. O motivo é que tabelas ou calculadoras normalmente fornecem a função de distribuição acumulada da normal padrão, denotada por
. Então transformamos o intervalo em termos de
e usamos
.
Passo 3
Calcular os valores padronizados (cada passo numérico explicado).
Para o limite inferior :
Para o limite inferior
Para o limite superior
:
Passo 4
Reescrever a probabilidade em termos de
. Como a padronização é linear, vale:
Substituindo os valores:
Passo 5
Usar a simetria da normal padrão para simplificar. Para qualquer
vale
. Assim
Aplicando com
, obtemos
Passo 6
Avaliar
. Vou usar valores da tabela da normal padrão (valores comuns):
e
. Como
está entre
e
, faço uma interpolação linear rápida para aproximar
.
Diferença entre os pontos da tabela:
A posição relativa de
dentro do intervalo
é aproximadamente
Portanto a interpolação dá
Passo 7
Calcular a probabilidade final usando a expressão da simetria:
Arredondando de forma razoável, obtemos aproximadamente
, ou em porcentagem cerca de
.