Questão 1. Em certa população, a altura X(\mathrm{em} \mathrm{cm}) de homens adultos pode ser modelada por
X \sim N(\mu=175, \sigma=7)
Qual a proporção de homens com altura entre 170 cm e 180 cm ?

Passo 1

O enunciado dá a distribuição da altura X em centímetros na população de homens adultos:
X \sim N\bigl(\mu=175,\\ \sigma=7\bigr).
O que é pedido: achar a proporção de homens com altura entre 170\\ \text{cm} e 180\\ \text{cm}; isto é, calcular
P\bigl(170 < X < 180\bigr).

Passo 2

Ideia geral (explicação didática e sem pular etapas). Para trabalhar com N(\mu,\sigma) é muito conveniente padronizar a variável para a normal padrão Z\sim N(0,1). A padronização transforma qualquer valor x em
Z=\frac{X-\mu}{\sigma}.
Aqui Z é uma variável normal com média 0 e desvio padrão 1. O motivo é que tabelas ou calculadoras normalmente fornecem a função de distribuição acumulada da normal padrão, denotada por \Phi. Então transformamos o intervalo em termos de Z e usamos \Phi.

Passo 3

Calcular os valores padronizados (cada passo numérico explicado).
Para o limite inferior x=170:
z_1=\frac{170-175}{7}=\frac{-5}{7}\approx -0{,}7142857.
Para o limite superior x=180:
z_2=\frac{180-175}{7}=\frac{5}{7}\approx 0{,}7142857.

Passo 4

Reescrever a probabilidade em termos de Z. Como a padronização é linear, vale:
P\bigl(170 < X < 180\bigr)=P\Bigl(\frac{170-175}{7} < Z < \frac{180-175}{7}\Bigr)=P\bigl(z_1 < Z < z_2\bigr).
Substituindo os valores:
P\bigl(170 < X < 180\bigr)=P\bigl(-0{,}7142857 < Z < 0{,}7142857\bigr).

Passo 5

Usar a simetria da normal padrão para simplificar. Para qualquer a>0 vale \Phi(-a)=1-\Phi(a). Assim
P\bigl(-a<Z<a\bigr)=\Phi(a)-\Phi(-a)=\Phi(a)-\bigl(1-\Phi(a)\bigr)=2\Phi(a)-1.
Aplicando com a=0{,}7142857, obtemos
P\bigl(-0{,}7142857<Z<0{,}7142857\bigr)=2\Phi\bigl(0{,}7142857\bigr)-1.

Passo 6

Avaliar \Phi\bigl(0{,}7142857\bigr). Vou usar valores da tabela da normal padrão (valores comuns): \Phi(0{,}71)=0{,}7611 e \Phi(0{,}72)=0{,}7642. Como 0{,}7142857 está entre 0{,}71 e 0{,}72, faço uma interpolação linear rápida para aproximar \Phi(0{,}7142857).
Diferença entre os pontos da tabela:
\Phi(0{,}72)-\Phi(0{,}71)=0{,}7642-0{,}7611=0{,}0031.
A posição relativa de 0{,}7142857 dentro do intervalo [0{,}71,0{,}72] é aproximadamente
\frac{0{,}7142857-0{,}71}{0{,}01}\approx 0{,}42857.
Portanto a interpolação dá
\Phi(0{,}7142857)\approx 0{,}7611 + 0{,}42857\cdot 0{,}0031 \approx 0{,}7611 + 0{,}00133 \approx 0{,}76243.

Passo 7

Calcular a probabilidade final usando a expressão da simetria:
P\bigl(170<X<180\bigr)=2\Phi\bigl(0{,}7142857\bigr)-1 \approx 2\cdot 0{,}76243 - 1 = 1{,}52486 - 1 = 0{,}52486.
Arredondando de forma razoável, obtemos aproximadamente 0{,}5249, ou em porcentagem cerca de 52{,}49\%.

Resposta

0{,}5249 \approx 52{,}49\%

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