O tempo de validade de um princípio ativo de um determinado inseticida tem distribuição normal de média 803 dias e variância 1581(\text { dias })^{2}. Determinar a probabilidade de validade deste inseticida:
antes de 750 dias;

Passo 1

O enunciado pede: determinar a probabilidade de que a validade do inseticida seja antes de 750 dias.
Informações fornecidas:
  • A validade tem distribuição normal com média \mu = 803 dias.
  • A variância é \sigma^{2} = 1581\\ (\text{dias})^{2}.
Pergunta explícita: calcular \Pr(X<750), onde X é a validade (em dias).

Passo 2

O que é preciso usar (fórmula e ideia): para uma variável aleatória X com distribuição normal \mathcal{N}(\mu,\sigma^{2}) a probabilidade pedida é obtida padronizando X para uma variável normal padrão Z\sim\mathcal{N}(0,1). A padronização é feita por
Z=\frac{X-\mu}{\sigma},
onde:
  • \mu é a média da distribuição de X,
  • \sigma é o desvio-padrão, isto é \sigma=\sqrt{\sigma^{2}},
  • Z tem média 0 e variância 1.
A propriedade que vamos usar é
\Pr(X<750)=\Pr\!\left(Z<\frac{750-\mu}{\sigma}\right).
Explico: ao subtrair a média e dividir pelo desvio-padrão, reescalamos o problema para a curva normal padrão, para a qual tabelas ou funções conhecidas dão as probabilidades.

Passo 3

Calcular o desvio-padrão \sigma:
\sigma=\sqrt{1581}.
Fazendo uma aproximação manual (sem depender de calculadora complexa) nota-se que 40^{2}=1600 e 39{,}75^{2}=1580{,}0625, então \sigma fica um pouco acima de 39{,}75. Tomando uma aproximação conveniente,
\sigma\approx 39{,}76.
(Se quiser mais precisão, \sqrt{1581}\approx 39{,}7618, mas para a tabela da normal a aproximação 39{,}76 é suficiente.)

Passo 4

Calcular o valor padronizado (o z-score):
z=\frac{750-\mu}{\sigma}=\frac{750-803}{\sigma}=\frac{-53}{\sigma}.
Usando \sigma\approx 39{,}76,
z\approx\frac{-53}{39{,}76}\approx -1{,}33.
Interpretação: a quantidade 750 dias está cerca de 1{,}33 desvios-padrão abaixo da média.

Passo 5

Converter essa z em probabilidade usando a tabela da normal padrão (ou uma calculadora que dê a função de distribuição normal). Lembrete útil sobre simetria:
\Pr(Z<-1{,}33)=\Pr(Z>1{,}33)=1-\Pr(Z\le 1{,}33).
Usando uma tabela padrão, o valor para \Pr(Z\le 1{,}33) é aproximadamente 0{,}9082. Portanto
\Pr(Z<-1{,}33)=1-0{,}9082=0{,}0918.
Se usar uma interpolação mais fina para z\approx -1{,}333 obtém-se um valor muito próximo de 0{,}0913. Ambas as aproximações estão na mesma ordem e produzem essencialmente o mesmo resultado prático.

Passo 6

Conclusão numérica e interpretação final: a probabilidade de a validade ser antes de 750 dias é aproximadamente 0{,}092, ou seja cerca de 9{,}2\%. Isso significa que, em média, cerca de 9 em cada 100 lotes teriam validade menor que 750 dias (segundo o modelo normal dado).

Resposta

\Pr(X<750)\approx 0{,}0918 (aproximadamente 9{,}18\%)

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