O tempo de validade de um princípio ativo de um determinado inseticida tem distribuição normal de média 803 dias e variância
. Determinar a probabilidade de validade deste inseticida:
antes de 750 dias;
antes de 750 dias;
Passo 1
O enunciado pede: determinar a probabilidade de que a validade do inseticida seja antes de
dias.
Informações fornecidas:
Informações fornecidas:
- A validade tem distribuição normal com média
dias. - A variância é
.
Pergunta explícita: calcular
, onde
é a validade (em dias).
Passo 2
O que é preciso usar (fórmula e ideia): para uma variável aleatória
com distribuição normal
a probabilidade pedida é obtida padronizando
para uma variável normal padrão
. A padronização é feita por
onde:
-
é a média da distribuição de , -
é o desvio-padrão, isto é , -
tem média e variância .
A propriedade que vamos usar é
Explico: ao subtrair a média e dividir pelo desvio-padrão, reescalamos o problema para a curva normal padrão, para a qual tabelas ou funções conhecidas dão as probabilidades.
Passo 3
Calcular o desvio-padrão
:
Fazendo uma aproximação manual (sem depender de calculadora complexa) nota-se que
e
, então
fica um pouco acima de
. Tomando uma aproximação conveniente,
(Se quiser mais precisão,
, mas para a tabela da normal a aproximação
é suficiente.)
Passo 4
Calcular o valor padronizado (o
-score):
Usando
,
Interpretação: a quantidade
dias está cerca de
desvios-padrão abaixo da média.
Passo 5
Converter essa
em probabilidade usando a tabela da normal padrão (ou uma calculadora que dê a função de distribuição normal). Lembrete útil sobre simetria:
Usando uma tabela padrão, o valor para
é aproximadamente
. Portanto
Se usar uma interpolação mais fina para
obtém-se um valor muito próximo de
. Ambas as aproximações estão na mesma ordem e produzem essencialmente o mesmo resultado prático.
Passo 6
Conclusão numérica e interpretação final: a probabilidade de a validade ser antes de
dias é aproximadamente
, ou seja cerca de
. Isso significa que, em média, cerca de 9 em cada 100 lotes teriam validade menor que
dias (segundo o modelo normal dado).