O tempo de validade de um princípio ativo de um determinado inseticida tem distribuição normal de média 803 dias e variância 1581(\text { dias })^{2}. Determinar a probabilidade de validade deste inseticida:
entre 700 e 900 dias;

Passo 1

O enunciado dá que o tempo de validade X é normalmente distribuído com média e variância conhecidas, e pede a probabilidade de X estar entre dois valores. Informação dada:
  • Média: \mu = 803 dias.
  • Variância: \sigma^{2} = 1581 (\text{dias})^{2}.
O que se pede:
  • Determinar a probabilidade \mathbb{P}(700 \le X \le 900).

Passo 2

Ideia básica (sem resolver ainda): Para uma variável X com distribuição normal, transforma-se X em uma variável padronizada Z com distribuição normal padrão (média 0, variância 1) usando a transformação
Z = \frac{X-\mu}{\sigma},
onde \sigma=\sqrt{\sigma^{2}}. Depois a probabilidade pedida vira diferença de funções de distribuição da normal padrão (valores que se obtêm em tabela ou calculadora).

Passo 3

Calcular o desvio padrão \sigma:
\sigma=\sqrt{1581}.
Aproximação manual:
39{,}7^{2}=1576{,}09,\qquad 39{,}75^{2}=1580{,}0625,
portanto
\sigma\approx39{,}75\\ \text{dias}.

Passo 4

Padronizar os extremos 700 e 900. Calcular os z-scores:
z_{1}=\frac{700-\mu}{\sigma}=\frac{700-803}{39{,}75}=\frac{-103}{39{,}75}\approx -2{,}5926,
z_{2}=\frac{900-\mu}{\sigma}=\frac{900-803}{39{,}75}=\frac{97}{39{,}75}\approx 2{,}4411.

Passo 5

Relacionar a probabilidade pedida com a função de distribuição da normal padrão \Phi (onde \Phi(a)=\mathbb{P}(Z\le a) para Z\sim N(0,1)):
\mathbb{P}(700\le X\le900)=\mathbb{P}\!\left(z_{1}\le Z\le z_{2}\right)=\Phi(z_{2})-\Phi(z_{1}).
Usando a simetria da normal ( \Phi(-a)=1-\Phi(a)), podemos escrever
\Phi(z_{2})-\Phi(z_{1})=\Phi(2{,}4411)-\Phi(-2{,}5926)=\Phi(2{,}4411)+\Phi(2{,}5926)-1.

Passo 6

Buscar os valores de \Phi em tabela da normal padrão (ou calculadora). Valores tabelados aproximados:
\Phi(2{,}44)\approx0{,}9927,\qquad \Phi(2{,}59)\approx0{,}9952.
Interpretação prática (interpolando pouco para os décimos de milhar obtidos):
\Phi(2{,}4411)\approx0{,}9927,\qquad \Phi(2{,}5926)\approx0{,}9953.

Passo 7

Calcular a probabilidade usando esses valores:
\mathbb{P}(700\le X\le900)\approx0{,}9927+0{,}9953-1=0{,}9880.
Em porcentagem isso é cerca de 98{,}80\%.

Passo 8

Interpretação final curta: aproximadamente 98{,}80\% das embalagens têm validade entre 700 e 900 dias, segundo a hipótese de normalidade com os parâmetros dados.

Resposta

\mathbb{P}(700\le X\le900)\approx0,9880

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