O tempo de validade de um princípio ativo de um determinado inseticida tem distribuição normal de média 803 dias e variância 1581(\text { dias })^{2}. Determinar a probabilidade de validade deste inseticida:
depois do tempo médio.

Passo 1

O enunciado pede: encontrar a probabilidade de que a validade (tempo de vida) do inseticida seja “depois do tempo médio”, ou seja, a probabilidade de que a variável aleatória que representa o tempo de validade seja maior que a média.
Informações dadas:
  • A distribuição é normal com média \mu = 803 dias.
  • A variância é \sigma^{2} = 1581 (dias )^{2}.
Portanto a pergunta é calcular
\mathbb{P}\bigl(X > 803\bigr)
onde X é uma variável aleatória com distribuição normal de média \mu=803 e variância \sigma^{2}=1581.

Passo 2

Vou lembrar uma propriedade básica e super útil da distribuição normal: ela é simétrica em torno da média. Isso significa, em palavras simples, que a probabilidade de a variável estar acima da média é igual à probabilidade de estar abaixo da média.
Em símbolos: se X\sim\mathcal{N}(\mu,\sigma^{2}) então
\mathbb{P}(X>\mu)=\mathbb{P}(X<\mu).
Como as duas possibilidades (maior que a média e menor que a média) cobrem todo o espaço menos a probabilidade exata de cair exatamente em \mu (que é zero para uma contínua), temos que
\mathbb{P}(X>\mu)+\mathbb{P}(X<\mu)=1,
logo cada uma vale 1/2.

Passo 3

Para quem prefere ver o método padrão de padronização (mas com o mesmo resultado): define-se a variável padronizada
Z=\frac{X-\mu}{\sigma},
onde \sigma=\sqrt{\sigma^{2}}=\sqrt{1581} é o desvio padrão. Aqui Z segue a normal padrão \mathcal{N}(0,1). Então
\mathbb{P}(X>\mu)=\mathbb{P}\Bigl(\frac{X-\mu}{\sigma}>0\Bigr)=\mathbb{P}(Z>0).

Passo 4

Conhecendo a simetria da normal padrão \mathcal{N}(0,1), sabemos que
\mathbb{P}(Z>0)=\frac{1}{2}.
Isso porque a função densidade é simétrica em torno de zero; a área à direita de zero é igual à área à esquerda de zero.

Passo 5

Conclusão direta e prática para prova: a probabilidade de que a validade seja depois do tempo médio (maior que \mu=803 dias) é
\mathbb{P}(X>803)=\frac{1}{2}.

Resposta

\,0{,}5

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