Os salários de uma empresa seguem distribuição normal com média \mathrm{R} \ 2.500,00 e desvio padrãoã\mathrm{R} $500,00 . Qual a probabilidade de um funcionário escolhido aleatoriamente ganhar entreá\mathrm{R} $ 2.000,00 e\mathrm{R} $$ 3.000,00?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • A distribuição dos salários é normal com média \mu=\mathrm{R}\$\,2.500,00 e desvio padrão \sigma=\mathrm{R}\$\,500,00.
  • Queremos a probabilidade de um funcionário escolhido aleatoriamente ganhar entre \mathrm{R}\$\,2.000,00 e \mathrm{R}\$\,3.000,00.
A pergunta que precisamos responder é:
  • Calcular P(2.000 \le X \le 3.000), onde X representa o salário de um funcionário.

Passo 2

Conceitos essenciais (explicação didática e intuitiva):
  • A distribuição normal é uma curva em formato de sino, centrada na média \mu. O desvio padrão \sigma mede a dispersão: quanto maior \sigma, mais “espalhada” a curva.
  • Para calcular probabilidades em qualquer normal, padronizamos para a normal padrão Z, que tem média 0 e desvio 1. A padronização transforma um valor x da normal original numa pontuação z pela fórmula
Z=\frac{X-\mu}{\sigma}.
  • Depois de padronizar, usamos a função de distribuição acumulada da normal padrão, denotada por \Phi(z)=P(Z\le z). Tabelas de z (ou calculadora) fornecem \Phi(z).
  • Proprietade útil (simetria): \Phi(-a)=1-\Phi(a). Assim P(-a\le Z\le a)=2\Phi(a)-1.

Passo 3

Vamos padronizar os limites \mathrm{R}\$\,2.000,00 e \mathrm{R}\$\,3.000,00.
Cálculo do primeiro z:
z_1=\frac{2000-\mu}{\sigma}=\frac{2000-2500}{500}=\frac{-500}{500}=-1.
Cálculo do segundo z:
z_2=\frac{3000-\mu}{\sigma}=\frac{3000-2500}{500}=\frac{500}{500}=1.
Portanto
P(2000\le X\le 3000)=P(-1\le Z\le 1).

Passo 4

Usando a normal padrão:
P(-1\le Z\le 1)=\Phi(1)-\Phi(-1).
Pela simetria, \Phi(-1)=1-\Phi(1), então
\Phi(1)-\Phi(-1)=\Phi(1)-(1-\Phi(1))=2\Phi(1)-1.
Agora pegamos o valor de \Phi(1) (tabela de z ou calculadora): \Phi(1)\approx 0{,}84134.
Portanto
P(-1\le Z\le 1)\approx 2\cdot 0{,}84134 - 1 = 0{,}68268\ldots
Arredondando de forma prática, obtemos aproximadamente 0{,}6827, que corresponde a cerca de 68{,}27\%. (Isso coincide com a “regra empírica” que diz que aproximadamente 68{,}27\% dos dados de uma normal ficam dentro de uma vez o desvio padrão da média.)

Passo 5

Interpretação final (motivação para prova): na prática, como os salários têm média \mathrm{R}\$\,2.500 e \sigma=\mathrm{R}\$\,500, a faixa de \mathrm{R}\$\,2.000 a \mathrm{R}\$\,3.000 é exatamente a média mais/menos um desvio padrão, então a resposta numérica esperada é cerca de 68{,}27\%. Isso é rápido de reconhecer na prova: identificar que os limites estão a \pm1\sigma da média e lembrar a regra empírica.

Resposta

0,6827
68,27\%

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