O tempo de vida útil de um eletrodoméstico é uma variável aleatória com densidade: f(x)=x c^-s / 24
Mostre que de fato f é uma densidade.

Passo 1

Então, o enunciado diz que o tempo de vida de um eletrodoméstico é uma variável aleatória X com densidade
f(x) ;=; x,c^-s/24,
e pede para “mostrar que de fato f é uma densidade”.
Isso significa que precisamos usar o conteúdo de “funções densidade de probabilidade”:
  1. verificar que integralsuporte f(x),dx ;=;1 para todo no suporte;
  2. mostrar que
A partir do Passo 2 vamos aplicar essas duas condições.

Passo 2

Primeiro, a positividade. Note que
  • f(x)=x,c^-s/24;>=;0 forall x>=0 é o tempo de vida, logo geralmente considera-se ;
  • e são constantes positivas (supomos e real qualquer);
    então

Passo 3

Agora, vamos escolher o suporte de X. Supondo que integral0^A x,c^-s/24,dx ;=; c^-s/24,integral0^A x,dx ;=; c^-s/24,gl[x^22gr]0^A ;=; c^-s/24,A^22 ;=; A^2,c^-s/28 “vive” só até um certo valor A^2,c^-s/28=1 Longrightarrow A^2=8,c^,s/2 Longrightarrow A=2raiz2;c^,s/4 (ou seja, para ou ), precisamos achar esse que faz a integral valer 1.
Calculemos
Para que isso seja igual a 1, basta escolher

Passo 4

Pronto: tomando o suporte de X como
0<= x<= A com A=2raiz2,c^,s/4,
temos verificado que
  1. no suporte;
  2. .

Resposta

Logo, de fato
f(x)=x,c^-s/24, 0<= x<= 2raiz2,c^,s/4,
é uma densidade de probabilidade válida.

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