O tempo de vida útil de um eletrodoméstico é uma variável aleatória com densidade:
Mostre que de fato
é uma densidade.
Mostre que de fato
Passo 1
Então, o enunciado diz que o tempo de vida de um eletrodoméstico é uma variável aleatória X com densidade
e pede para “mostrar que de fato f é uma densidade”.
Isso significa que precisamos usar o conteúdo de “funções densidade de probabilidade”:
Isso significa que precisamos usar o conteúdo de “funções densidade de probabilidade”:
- verificar que
para todo no suporte; - mostrar que
A partir do Passo 2 vamos aplicar essas duas condições.
Passo 2
Primeiro, a positividade. Note que
-
é o tempo de vida, logo geralmente considera-se ; -
e são constantes positivas (supomos e real qualquer);
então
Passo 3
Agora, vamos escolher o suporte de X. Supondo que
“vive” só até um certo valor
(ou seja,
para
ou
), precisamos achar esse
que faz a integral valer 1.
Calculemos
Calculemos
Para que isso seja igual a 1, basta escolher
Passo 4
Pronto: tomando o suporte de X como
temos verificado que
-
no suporte; -
.
Resposta
Logo, de fato
é uma densidade de probabilidade válida.