Os tempos, em minutos, que três alunos, escolhidos ao acaso numa turma, levaram para resolver as três primeiras questões de uma prova foram os seguintes:
Alunos A B C
Questão 1 11 19 23
Questão 2 15 19 21
Questão 3 12 19 22
b) Ainda em relação ao tempo médio e com a mesma significância, pode concluir-se que há diferença entre os alunos?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem os tempos que três alunos (A, B e C) levaram para resolver as primeiras três questões de uma prova. Queremos descobrir se, na média, esses tempos são diferentes entre os alunos. Para isso, vamos usar o Teste ANOVA, que ajuda a comparar as médias de mais de dois grupos. Então, vamos precisar calcular algumas estatísticas para ver se as diferenças nos tempos são significativas ou se podem ser por acaso.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar os dados:
  • Aluno A: 11, 15, 12 minutos
  • Aluno B: 19, 19, 19 minutos
  • Aluno C: 23, 21, 22 minutos
Vamos calcular a média de cada aluno:
  • Média A: (11 + 15 + 12) / 3 = 12,67 minutos
  • Média B: (19 + 19 + 19) / 3 = 19 minutos
  • Média C: (23 + 21 + 22) / 3 = 22 minutos
Agora, vamos calcular a média geral de todos os dados:
Média Geral = 11 + 15 + 12 + 19 + 19 + 19 + 23 + 21 + 229 = 1619 approx 17,89 minutos é

Passo 3

Em seguida, vamos calcular a Soma dos Quadrados Entre os Grupos (SQE) e a Soma dos Quadrados Dentro dos Grupos (SQD).
Primeiro, a SQE:
SQE = n times [(MA - barM)^2 + (MB - barM)^2 + (MC - barM)^2]
Onde $ n $ é o número de observações por grupo (no caso, 3).
n
SQE = 3 times [(12,67 - 17,89)^2 + (19 - 17,89)^2 + (22 - 17,89)^2]
= 3 times [(-5,22)^2 + (1,11)^2 + (4,11)^2]
Agora, a SQD. Vamos calcular a variância dentro de cada grupo:
Para o Aluno A:
= 3 times [27,29 + 1,23 + 16,89] = 3 times 45,41 = 136,23
Para o Aluno B:
(11 - 12,67)^2 + (15 - 12,67)^2 + (12 - 12,67)^2 = 2,79 + 5,44 + 0,45 = 8,68
Para o Aluno C:
(19 - 19)^2 + (19 - 19)^2 + (19 - 19)^2 = 0 + 0 + 0 = 0
Então, a SQD total é:
(23 - 22)^2 + (21 - 22)^2 + (22 - 22)^2 = 1 + 1 + 0 = 2

Passo 4

Agora, vamos calcular os Graus de Liberdade:
  • Graus de Liberdade Entre os Grupos ( GLE): número de grupos - 1 = 3 - 1 = 2
  • Graus de Liberdade Dentro dos Grupos ( GLD): total de observações - número de grupos = 9 - 3 = 6
Em seguida, calculamos as Médias dos Quadrados:
MQE = SQEGLE = 136,232 = 68,12
MQD = SQDGLD = 10,686 = 1,78

Passo 5

Agora, calculamos o Estatístico F:
F = MQEMQD = 68,121,78 approx 38,28
Precisamos comparar esse valor de F com o valor crítico da tabela F para GLE = 2 e GLD = 6 no nível de significância escolhido (vamos usar 5%).
Consultando a tabela, o valor crítico de F para 2 e 6 graus de liberdade a 5% é aproximadamente 5,14.

Passo 6

Como o nosso valor calculado de F approx 38,28 é muito maior que o valor crítico de 5,14, rejeitamos a hipótese nula. Isso significa que há diferenças estatisticamente significativas nas médias dos tempos entre os alunos.

Resposta

Sim, há uma diferença significativa nos tempos médios entre os alunos.

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