Exercício 5.3. Suponha que uma variável aleatória X seja tal que Rx=1,2,3, ldots e P(X=i)=1 / 2^i para todo i in R X.
© P(X <= 5).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre uma variável aleatória $ X $ que pode assumir os valores $ 1, 2, 3, ··· $ e tem uma probabilidade associada a cada valor dada por $ P(X=i) = \frac{1}{2^{i}} $. Nosso objetivo aqui é calcular a probabilidade de $ X $ ser menor ou igual a 5, ou seja, $ P(X \leq 5) $. Para resolver isso, vamos usar conceitos básicos de probabilidade de variáveis discretas.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender que $ P(X \leq 5) $ significa a soma das probabilidades de $ X $ ser 1, 2, 3, 4 ou 5. Matemáticamente, isso é representado por:
P(X <= 5)
Isso porque, em variáveis discretas, a probabilidade de $ X $ estar em um conjunto de valores é a soma das probabilidades de cada valor individualmente.

Passo 3

Sabemos que a probabilidade de cada valor $ i $ é dada por $ P(X=i) = \frac{1}{2^{i}} $. Então, vamos substituir cada termo na soma:
i

Passo 4

Agora, vamos calcular cada fração:
12^1 = 12 = 0,5
12^2 = 14 = 0,25
12^3 = 18 = 0,125
12^4 = 116 = 0,0625
12^5 = 132 = 0,03125

Passo 5

Agora, somamos todos esses valores:
0,5 + 0,25 = 0,75
0,75 + 0,125 = 0,875
0,875 + 0,0625 = 0,9375
0,9375 + 0,03125 = 0,96875
Convertendo para fração, $ 0,96875 = \frac{31}{32} $.

Resposta

$ P(X \leq 5) = \frac{31}{32} $

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