Exercício 5.3. Suponha que uma variável aleatória
seja tal que
e
para todo
.
©
.
©
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre uma variável aleatória $ X $ que pode assumir os valores $ 1, 2, 3, ··· $ e tem uma probabilidade associada a cada valor dada por $ P(X=i) = \frac{1}{2^{i}} $. Nosso objetivo aqui é calcular a probabilidade de $ X $ ser menor ou igual a 5, ou seja, $ P(X \leq 5) $. Para resolver isso, vamos usar conceitos básicos de probabilidade de variáveis discretas.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender que $ P(X \leq 5) $ significa a soma das probabilidades de $ X $ ser 1, 2, 3, 4 ou 5. Matemáticamente, isso é representado por:
Isso porque, em variáveis discretas, a probabilidade de $ X $ estar em um conjunto de valores é a soma das probabilidades de cada valor individualmente.
Passo 3
Sabemos que a probabilidade de cada valor $ i $ é dada por $ P(X=i) = \frac{1}{2^{i}} $. Então, vamos substituir cada termo na soma:
Passo 4
Agora, vamos calcular cada fração:
Passo 5
Agora, somamos todos esses valores:
Convertendo para fração, $ 0,96875 = \frac{31}{32} $.
Resposta
$ P(X \leq 5) = \frac{31}{32} $