Exercício 5.3. Suponha que uma variável aleatória X seja tal que Rx=1,2,3, ldots e P(X=i)=1 / 2^i para todo i in R X.
(a) Prove que de fato P(X=i)=1 / 2^i define uma função de probabilidade;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma variável aleatória $ X $ que pode assumir os valores $ 1, 2, 3, ··· $ e a probabilidade de $ X $ ser igual a algum desses valores é dada por $ P(X=i) = \frac{1}{2^i} $. Nosso objetivo aqui é provar que essa função realmente define uma função de probabilidade. Para isso, vamos precisar usar os conceitos básicos de teoria das probabilidades, especificamente sobre funções de massa de probabilidade.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma função de probabilidade. Para que uma função $ P(X=i) $ seja uma função de probabilidade válida, ela precisa satisfazer duas condições principais:
  1. Não-negatividade: Para todo $ i $, $ P(X=i) \geq 0 $.
  2. Soma das probabilidades igual a 1: A soma de todas as probabilidades para todos os possíveis valores de $ X $ deve ser igual a 1.
Então, vamos verificar essas duas condições para a nossa função $ P(X=i) = \frac{1}{2^i} $.

Passo 3

Verificando a não-negatividade:
Olha só, $ \frac{1}{2^i} $ sempre será positivo para qualquer $ i $ natural (1, 2, 3, …), porque estamos elevando 2 a uma potência positiva e dividindo 1 por isso. Portanto, $ P(X=i) = \frac{1}{2^i} \geq 0 $ para todo $ i $.

Passo 4

Verificando a soma das probabilidades:
Agora, precisamos somar todas as probabilidades e ver se a soma é igual a 1:
sumi=1^infty P(X=i) = sumi=1^infty 12^i
Essa é uma série geométrica onde a razão $ r = \frac{1}{2} $, que é menor que 1 em módulo, então sabemos que essa série converge. A soma de uma série geométrica infinita é dada por:
r = 12
Portanto, a soma das probabilidades é igual a 1.

Resposta

Sim, $ P(X=i) = \frac{1}{2^i} $ define uma função de probabilidade válida, pois todas as probabilidades são não negativas e a soma delas é igual a 1.

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