Exercício 5.3. Suponha que uma variável aleatória
seja tal que
e
para todo
.
(a) Prove que de fato
define uma função de probabilidade;
(a) Prove que de fato
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma variável aleatória $ X $ que pode assumir os valores $ 1, 2, 3, ··· $ e a probabilidade de $ X $ ser igual a algum desses valores é dada por $ P(X=i) = \frac{1}{2^i} $. Nosso objetivo aqui é provar que essa função realmente define uma função de probabilidade. Para isso, vamos precisar usar os conceitos básicos de teoria das probabilidades, especificamente sobre funções de massa de probabilidade.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma função de probabilidade. Para que uma função $ P(X=i) $ seja uma função de probabilidade válida, ela precisa satisfazer duas condições principais:
- Não-negatividade: Para todo $ i $, $ P(X=i) \geq 0 $.
- Soma das probabilidades igual a 1: A soma de todas as probabilidades para todos os possíveis valores de $ X $ deve ser igual a 1.
Então, vamos verificar essas duas condições para a nossa função $ P(X=i) = \frac{1}{2^i} $.
Passo 3
Verificando a não-negatividade:
Olha só, $ \frac{1}{2^i} $ sempre será positivo para qualquer $ i $ natural (1, 2, 3, …), porque estamos elevando 2 a uma potência positiva e dividindo 1 por isso. Portanto, $ P(X=i) = \frac{1}{2^i} \geq 0 $ para todo $ i $.
Passo 4
Verificando a soma das probabilidades:
Agora, precisamos somar todas as probabilidades e ver se a soma é igual a 1:
Essa é uma série geométrica onde a razão $ r = \frac{1}{2} $, que é menor que 1 em módulo, então sabemos que essa série converge. A soma de uma série geométrica infinita é dada por:
Portanto, a soma das probabilidades é igual a 1.
Resposta
Sim, $ P(X=i) = \frac{1}{2^i} $ define uma função de probabilidade válida, pois todas as probabilidades são não negativas e a soma delas é igual a 1.