3^{\underline{a}} Questão: Calcule a velocidade das ondas na corda de comprimento L e massa m esticada por um fio que sustenta um bloco cubico de lado a e que tem densidade volumétrica \rho maior que a densidade \rho_{0} da água. Considere que o bloco se encontra parcialmente submerso na água com 60 \% de seu volume dentro lo líquido.

Passo 1

O enunciado pede a velocidade de propagação de pequenas ondas numa corda de comprimento L e massa m, tensionada por um fio que sustenta um bloco cúbico de lado a e densidade \rho. O bloco está parcialmente submerso na água (densidade \rho_{0}), com 60\% do volume dentro do líquido. O conteúdo envolvido é ondas em cordas tensionadas, cuja velocidade é dada por \displaystyle v=\sqrt{T/\mu}, onde T é a tensão e \mu é a densidade linear da corda.

Passo 2

Calculamos a força peso do bloco. O volume total do cubo é a^{3}, logo a massa do bloco vale \rho\,a^{3} e o peso é
W = \rho\,a^{3}\,g\,.

Passo 3

Calculamos a força de empuxo (Arquimedes). Com 60\% do volume submerso, o volume imerso é 0{,}6\,a^{3} e o empuxo é
E = \rho_{0}\,(0{,}6\,a^{3})\,g = 0{,}6\,\rho_{0}\,a^{3}\,g\,.

Passo 4

Como o bloco está em equilíbrio vertical, a tensão T no fio (e na corda) é a diferença entre peso e empuxo:
T = W - E = \rho\,a^{3}\,g - 0{,}6\,\rho_{0}\,a^{3}\,g = a^{3}\,g\bigl(\rho - 0{,}6\,\rho_{0}\bigr)\,.

Passo 5

A densidade linear da corda é
\mu = \frac{m}{L}\,.
Logo a velocidade das ondas na corda é
v = \sqrt{\frac{T}{\mu}} = \sqrt{\frac{a^{3}\,g\bigl(\rho - 0{,}6\,\rho_{0}\bigr)}{\,m/L\,}} = \sqrt{\frac{a^{3}\,g\bigl(\rho - 0{,}6\,\rho_{0}\bigr)\,L}{m}}\,.

Resposta

v = \sqrt{\frac{a^{3}\,g\bigl(\rho - 0{,}6\,\rho_{0}\bigr)\,L}{m}}.

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