Tendo \hat{\mathbf{q}}_{1} como um vetor unitário na direção crescente de q_{1}, mostre que
\boldsymbol{\nabla} \times \hat{\mathbf{q}}_{1}=\frac{1}{h_{1}}\left[\hat{\mathbf{q}}_{2} \frac{1}{h_{3}} \frac{\partial h_{1}}{\partial q_{3}}-\hat{\mathbf{q}}_{3} \frac{1}{h_{2}} \frac{\partial h_{1}}{\partial q_{2}}\right].
Note que, mesmo que \hat{\mathbf{q}}_{1} seja um vetor unitário, sua divergência e rotacional não desaparecem necessariamente.

Passo 1

O enunciado pede o rotacional de \hat{\mathbf{q}}_{1} em coordenadas curvilíneas ortonormais com fatores de escala h_{1},h_{2},h_{3}. Para isso, vamos usar a expressão geral de \nabla\times\mathbf{A} nessas coordenadas.

Passo 2

Em coordenadas curvilíneas ortonormais, para um campo \mathbf{A}=A_{1}\,\hat{\mathbf{q}}_{1}+A_{2}\,\hat{\mathbf{q}}_{2}+A_{3}\,\hat{\mathbf{q}}_{3},
os componentes de \nabla\times\mathbf{A} são
(\nabla \times \mathbf{A})_{1} =\frac{1}{h_{2}h_{3}}\Bigl[\frac{\partial\bigl(h_{3}A_{3}\bigr)}{\partial q_{2}} -\frac{\partial\bigl(h_{2}A_{2}\bigr)}{\partial q_{3}}\Bigr],
(\nabla \times \mathbf{A})_{2} =\frac{1}{h_{3}h_{1}}\Bigl[\frac{\partial\bigl(h_{1}A_{1}\bigr)}{\partial q_{3}} -\frac{\partial\bigl(h_{3}A_{3}\bigr)}{\partial q_{1}}\Bigr],
(\nabla \times \mathbf{A})_{3} =\frac{1}{h_{1}h_{2}}\Bigl[\frac{\partial\bigl(h_{2}A_{2}\bigr)}{\partial q_{1}} -\frac{\partial\bigl(h_{1}A_{1}\bigr)}{\partial q_{2}}\Bigr].

Passo 3

Para \mathbf{A}=\hat{\mathbf{q}}_{1} temos A_{1}=1, A_{2}=0, A_{3}=0. Logo
(\nabla \times \hat{\mathbf{q}}_{1})_{1} =\frac{1}{h_{2}h_{3}}\bigl[\partial_{q_{2}}(0)-\partial_{q_{3}}(0)\bigr]=0,
(\nabla \times \hat{\mathbf{q}}_{1})_{2} =\frac{1}{h_{3}h_{1}}\bigl[\partial_{q_{3}}(h_{1}\cdot1)-\partial_{q_{1}}(0)\bigr] =\frac{1}{h_{3}h_{1}}\frac{\partial h_{1}}{\partial q_{3}},
(\nabla \times \hat{\mathbf{q}}_{1})_{3} =\frac{1}{h_{1}h_{2}}\bigl[\partial_{q_{1}}(0)-\partial_{q_{2}}(h_{1}\cdot1)\bigr] =-\frac{1}{h_{1}h_{2}}\frac{\partial h_{1}}{\partial q_{2}}.

Passo 4

Reagrupando em forma vetorial e fatorando 1/h_{1}, obtemos
\nabla \times \hat{\mathbf{q}}_{1} =\frac{1}{h_{1}}\Bigl[\hat{\mathbf{q}}_{2}\,\frac{1}{h_{3}}\frac{\partial h_{1}}{\partial q_{3}} -\hat{\mathbf{q}}_{3}\,\frac{1}{h_{2}}\frac{\partial h_{1}}{\partial q_{2}}\Bigr].

Resposta

\nabla \times \hat{\mathbf{q}}_{1} =\frac{1}{h_{1}}\Bigl[\hat{\mathbf{q}}_{2}\,\frac{1}{h_{3}}\frac{\partial h_{1}}{\partial q_{3}} -\hat{\mathbf{q}}_{3}\,\frac{1}{h_{2}}\frac{\partial h_{1}}{\partial q_{2}}\Bigr].

Exercícios relacionados