Definido o operador do momento angular da mecânica quântica como
, mostre que
(Esses são os operadores de levantamento e abaixamento da Seção 4.3.))
(Esses são os operadores de levantamento e abaixamento da Seção 4.3.))
Passo 1
O enunciado pede para mostrar, partindo da definição em coordenadas cartesianas
que a combinação
torna–se em coordenadas esféricas o operador
O conteúdo principal é a expressão dos componentes angulares
e
em coordenadas
e a algebra de operadores diferenciais.
Passo 2
Em coordenadas esféricas, sem a parte radial (que não contribui para
), usam-se as expressões padrão (que se obtêm de
e da regra de cadeia):
Aqui o fator
vem do
inicial e do sinal das componentes do produto vetorial.
Passo 3
Formamos a combinação
Distributindo e juntando termos:
Passo 4
Observamos que
e .
Logo
e
Logo
Reagrupando: