Definido o operador do momento angular da mecânica quântica como \mathbf{L}=-i(\(\mathbf{r} \times \boldsymbol{\nabla})), mostre que
L_{x}-i L_{y}=-e^{-i \varphi}\left(\frac{\partial}{\partial \theta}-i \operatorname{cotg} \theta \frac{\partial}{\partial \varphi}\right)
(Esses são os operadores de levantamento e abaixamento da Seção 4.3.))

Passo 1

O enunciado pede para mostrar, partindo da definição em coordenadas cartesianas
\mathbf{L}=-i\bigl(\mathbf{r}\times\boldsymbol{\nabla}\bigr),
que a combinação
L_x - iL_y
torna–se em coordenadas esféricas o operador
-\,e^{-i\varphi}\Bigl(\frac{\partial}{\partial\theta}-i\cot\theta\,\frac{\partial}{\partial\varphi}\Bigr).
O conteúdo principal é a expressão dos componentes angulares L_x e L_y em coordenadas (r,\theta,\varphi) e a algebra de operadores diferenciais.

Passo 2

Em coordenadas esféricas, sem a parte radial (que não contribui para L), usam-se as expressões padrão (que se obtêm de \mathbf{r}\times\boldsymbol{\nabla} e da regra de cadeia):
L_x = i\Bigl(\sin\varphi\,\frac{\partial}{\partial\theta}+\cot\theta\cos\varphi\,\frac{\partial}{\partial\varphi}\Bigr),
L_y = i\Bigl(-\cos\varphi\,\frac{\partial}{\partial\theta}+\cot\theta\sin\varphi\,\frac{\partial}{\partial\varphi}\Bigr).
Aqui o fator i vem do -i inicial e do sinal das componentes do produto vetorial.

Passo 3

Formamos a combinação
L_x - i\,L_y =\;i\Bigl(\sin\varphi\,\partial_\theta+\cot\theta\cos\varphi\,\partial_\varphi\Bigr) \;-\;i\,\bigl[i\bigl(-\cos\varphi\,\partial_\theta+\cot\theta\sin\varphi\,\partial_\varphi\bigr)\bigr].
Distributindo e juntando termos:
L_x - iL_y = i\bigl(\sin\varphi + i\cos\varphi\bigr)\partial_\theta \;+\;i\bigl(\cot\theta\cos\varphi - i\,\cot\theta\sin\varphi\bigr)\partial_\varphi.

Passo 4

Observamos que \sin\varphi+i\cos\varphi = i\,e^{-i\varphi}
e \cos\varphi - i\sin\varphi = e^{-i\varphi}.
Logo
L_x - iL_y = i\bigl[i\,e^{-i\varphi}\bigr]\partial_\theta \;+\;i\bigl[\cot\theta\,e^{-i\varphi}\bigr]\partial_\varphi = -\,e^{-i\varphi}\,\partial_\theta \;-\;i\;e^{-i\varphi}\,\cot\theta\,\partial_\varphi.
Reagrupando:
L_x - iL_y = -\,e^{-i\varphi}\Bigl(\frac{\partial}{\partial\theta}-i\cot\theta\,\frac{\partial}{\partial\varphi}\Bigr).

Resposta

L_{x}-iL_{y} =-\,e^{-i\varphi}\Bigl(\frac{\partial}{\partial\theta}-i\cot\theta\,\frac{\partial}{\partial\varphi}\Bigr).

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