Seja X_{1}, \ldots, X_{n} uma amostra aleatória da distribuição U(0, \theta). Obtenha um intervalo de confiança para \theta utilizando a quantidade pivotal Q(X ; \theta)=-\sum_{i=1}^{n} \log \left(F\left(X_{i} ; \theta\right)\right).

Passo 1

O enunciado nos dá uma amostra aleatória X_{1},\dots,X_{n} de U(0,\theta) e pede um intervalo de confiança para \theta usando a quantidade pivotal
Q(X;\theta) \;=\; -\sum_{i=1}^{n}\log\bigl(F(X_{i};\theta)\bigr).
Aqui o conteúdo é de pivôs e distribuição gama; vamos explorar que F(x;\theta)=x/\theta em U(0,\theta).

Passo 2

Definimos
U_{i} = F(X_{i};\theta) = \frac{X_{i}}{\theta}.
Como X_{i}\sim U(0,\theta), segue que U_{i}\sim U(0,1) iid. Então
-\log(U_{i})\sim \mathrm{Exp}(1) \quad\text{e portanto}\quad Q \;=\; \sum_{i=1}^{n}\bigl(-\log(U_{i})\bigr) \sim \Gamma\bigl(n,1\bigr).
Isso mostra que Q é um pivô cuja distribuição independe de \theta.

Passo 3

Seja \gamma_{L} o quantil de ordem \alpha/2 e \gamma_{U} o quantil de ordem 1-\alpha/2 da \Gamma(n,1). Então
P\bigl(\gamma_{L} \le Q \le \gamma_{U}\bigr) \;=\; 1-\alpha.

Passo 4

Reescrevendo Q = -\sum_{i=1}^{n}\log\bigl(X_{i}/\theta\bigr) obtemos
Q \;=\; -\sum_{i=1}^{n}\log(X_{i}) + n\log(\theta).
A desigualdade \gamma_{L}\le Q\le\gamma_{U} fica
\gamma_{L} \;\le\; n\log(\theta)\;-\sum_{i=1}^{n}\log(X_{i}) \;\le\;\gamma_{U},
ou seja
\sum_{i=1}^{n}\log(X_{i})+\gamma_{L} \;\le\; n\log(\theta) \;\le\; \sum_{i=1}^{n}\log(X_{i})+\gamma_{U}.

Passo 5

Bastando exporenciar, isolamos \theta:
\exp\!\biggl(\frac{\sum_{i=1}^{n}\log(X_{i})+\gamma_{L}}{n}\biggr) \;\le\; \theta \;\le\; \exp\!\biggl(\frac{\sum_{i=1}^{n}\log(X_{i})+\gamma_{U}}{n}\biggr).
Como \sum\log(X_{i})=\log\bigl(\prod X_{i}\bigr), podemos escrever de modo mais compacto usando a média geométrica \bigl(\prod X_{i}\bigr)^{1/n}.

Resposta

\boxed{ \Bigl(\prod_{i=1}^{n}X_{i}\Bigr)^{\!1/n}\,\exp\!\bigl(\gamma_{L}/n\bigr) \;\le\; \theta \;\le\; \Bigl(\prod_{i=1}^{n}X_{i}\Bigr)^{\!1/n}\,\exp\!\bigl(\gamma_{U}/n\bigr) }
onde \gamma_{L} e \gamma_{U} são os quantis de ordem \alpha/2 e 1-\alpha/2 da \Gamma(n,1).

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