Em velocidades muito baixas, a força de arrasto sobre um objeto é independente da massa específica do fluido. Desse modo, a força, F, sobre uma pequena esfera é uma função somente da velocidade, V, da viscosidade do fluido, \mu, e do diâmetro da esfera, D. Use a análise dimensional para determinar como a força de arrasto F depende da velocidade V.

Passo 1

O enunciado diz que em velocidades muito baixas a força de arrasto F sobre uma esfera pequena depende apenas da velocidade V, da viscosidade dinâmica do fluido \mu e do diâmetro da esfera D. Vamos usar análise dimensional para achar a forma de F(V,\mu,D).

Passo 2

Escrevemos as dimensões fundamentais de cada grandeza:
[F] = M\,L\,T^{-2},\quad [V] = L\,T^{-1},\quad [\mu] = M\,L^{-1}\,T^{-1},\quad [D] = L.

Passo 3

Proponho uma relação geral homogênea
F \propto V^{\,a}\,\mu^{\,b}\,D^{\,c}.
As dimensões do lado direito são
[V^{a}\,\mu^{b}\,D^{c}] = (L\,T^{-1})^{a}\,(M\,L^{-1}\,T^{-1})^{b}\,(L)^{c} = M^{b}\,L^{\,a-b+c}\,T^{-\,a-b}.
Para coincidir com [F]=M\,L\,T^{-2}, igualamos expoentes:
para M: b=1,
para T: -a - b = -2,
para L: a - b + c = 1.

Passo 4

Resolve-se o sistema
\begin{cases} b=1,\\\\ -a-b=-2,\\\ a-b+c=1, \end{cases}
de onde b=1. Então da segunda equação a=2-b=1. Substituindo em a-b+c=1 1-1+c=1, logo c=1.

Resposta

Portanto a força de arrasto cresce linearmente com V, com \mu e com D; isto é,
F \propto \mu\,V\,D,
ou, incluindo um fator adimensional k,
F = k\,\mu\,V\,D.

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