Uma barra de comprimento
, seção reta constante, difusividade
é perfeitamente isolada ao longo do comprimento. As condições de contorno são descritas na Tabela abaixo:
Fonte
C.I.
T constante
T constante
10
a) Escreva o problema de difusão do calor em linguagem matemática (EDP e condições de contorno) com os dados acima.
b) Calcule a solução completa do problema de difusão.
c) Implemente computacionalmente a solução.
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Fonte
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C.I. |
T constante
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T constante
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10 |
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b) Calcule a solução completa do problema de difusão.
c) Implemente computacionalmente a solução.
Passo 1
O problema trata da condução de calor unidimensional transiente numa barra de comprimento
m, perfeitamente isolada lateralmente, com difusividade térmica
,
/s, condutividade
,W/(m
C), geração volumétrica constante
,W/
, condições de contorno de Dirichlet
°C e
°C, e condição inicial
. Vamos formular a EDP e resolver por decomposição em estado‐estacionário mais modo transiente.
Passo 2
A equação de conservação de energia em 1D com geração interna é
onde
é a capacidade térmica volumétrica. Usando
, escrevemos
As condições de contorno e inicial são
Passo 3
Encontremos a solução estacionária
satisfazendo
Integrando duas vezes:
Impor
e
dá
Logo
Passo 4
Definimos a parte transiente homogênea
. Então
Passo 5
A condição inicial expansível em senos é
Os coeficientes da série são
podendo ser obtidos analiticamente ou numericamente.
Passo 6
A solução completa é
Passo 7
Para implementar em Python basta:
- Definir
como função de . - Calcular
no intervalo . - Para cada
até usar quadratura (por ex. numpy.trapz
) para obter. - Somar os modos para cada par
desejado. - Plotar
T(x,t)
commatplotlib
.
Resposta
a)
b)
c) Implementar em Python usando
numpy
para quadratura e matplotlib
para visualização.