Uma barra de comprimento \mathrm{L}=1, seção reta constante, difusividade \alpha=1,1 \times 10^{-4} \mathrm{~m}^{2} / \mathrm{s}, k= 1,3 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{0} \mathrm{C} é perfeitamente isolada ao longo do comprimento. As condições de contorno são descritas na Tabela abaixo:
x=0 x=L Fonte G(x)(W / m s) C.I.
T constante 10^{\circ} \mathrm{C} T constante -80^{\circ} \mathrm{C} 10 2 x+5
a) Escreva o problema de difusão do calor em linguagem matemática (EDP e condições de contorno) com os dados acima.
b) Calcule a solução completa do problema de difusão.
c) Implemente computacionalmente a solução.

Passo 1

O problema trata da condução de calor unidimensional transiente numa barra de comprimento L=1 m, perfeitamente isolada lateralmente, com difusividade térmica \alpha=1{,}1\times10^{-4}, m^{2}/s, condutividade k=1{,}3,W/(m \cdot\circC), geração volumétrica constante G(x)=10,W/ m^{3}, condições de contorno de Dirichlet T(0,t)=10°C e T(L,t)=-80°C, e condição inicial T(x,0)=2x+5. Vamos formular a EDP e resolver por decomposição em estado‐estacionário mais modo transiente.

Passo 2

A equação de conservação de energia em 1D com geração interna é
\rho c_p \frac{\partial T}{\partial t} = k \frac{\partial^2 T}{\partial x^2} + G(x),
onde \rho c_p é a capacidade térmica volumétrica. Usando \alpha=k/(\rho c_p), escrevemos
\frac{\partial T}{\partial t} = \alpha \frac{\partial^2 T}{\partial x^2} + \frac{G(x)}{\rho c_p}.
As condições de contorno e inicial são
T(0,t)=10, \quad T(1,t)=-80, \quad T(x,0)=2x+5.

Passo 3

Encontremos a solução estacionária T_s(x) satisfazendo
k \frac{d^2 T_s}{dx^2} + G = 0.
Integrando duas vezes:
T_s(x) = -\frac{G}{2k}x^2 + C_1 x + C_2.
Impor T_s(0)=10\Rightarrow C_2=10 e T_s(1)=-80\Rightarrow -\tfrac{G}{2k}+C_1+10=-80
C_1=-90+\frac{G}{2k}.
Logo
T_s(x) = -\frac{G}{2k}x^2 +\Bigl(-90+\frac{G}{2k}\Bigr)x +10.

Passo 4

Definimos a parte transiente homogênea \theta(x,t)=T(x,t)-T_s(x). Então
\frac{\partial \theta}{\partial t} = \alpha \frac{\partial^2 \theta}{\partial x^2}, \quad \theta(0,t)=\theta(1,t)=0, \quad \theta(x,0)=T(x,0)-T_s(x).

Passo 5

A condição inicial expansível em senos é
\theta(x,0) =2x+5 - T_s(x) = \frac{G}{2k}x^2 +\Bigl(92-\frac{G}{2k}\Bigr)x -5.
Os coeficientes da série são
B_n =2\int_{0}^{1}\theta(x,0)\,\sin(n\pi x)\,dx, \quad n=1,2,\dots
podendo ser obtidos analiticamente ou numericamente.

Passo 6

A solução completa é
T(x,t) = T_s(x) +\sum_{n=1}^{\infty} B_n \,\sin(n\pi x)\, \exp\bigl(-\alpha\,n^2\pi^2\,t\bigr).

Passo 7

Para implementar em Python basta:
  1. Definir T_s(x) como função de x.
  2. Calcular \theta(x,0) no intervalo [0,1].
  3. Para cada n até N usar quadratura (por ex. numpy.trapz) para obter B_n.
  4. Somar os modos para cada par (x,t) desejado.
  5. Plotar T(x,t) com matplotlib.

Resposta

a)
\frac{\partial T}{\partial t} = \alpha \frac{\partial^2 T}{\partial x^2} + \frac{G}{\rho c_p}, \quad T(0,t)=10, \quad T(1,t)=-80, \quad T(x,0)=2x+5.
b)
T(x,t) = -\frac{G}{2k}x^2 +\Bigl(-90+\frac{G}{2k}\Bigr)x +10 +\sum_{n=1}^\infty \Bigl[2\!\int_0^1\!(2\xi+5-T_s(\xi))\sin(n\pi\xi)d\xi\Bigr] \sin(n\pi x)e^{-\alpha n^2\pi^2 t}.
c) Implementar em Python usando numpy para quadratura e matplotlib para visualização.

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