O tensor de Levi-Civita é definido para (i, j, k=1,2,3) como:
varepsiloni j k=cll 1 & quando & (i, j, k)=(1,2,3),(2,3,1),(3,1,2), -1 & quando & (i, j, k)=(1,3,2),(3,2,1),(2,1,3), 0 & quando & i=j, ou i=k, ou j=k
Usando a propriedade sumi=1^3 varepsiloni j k varepsiloni m n=de, quando é preciso, a definição das componentes do produto vetorial (a times b)i= sumj, k=1^3 varepsiloni j k aj bk, mostrar que
  1. sumi, j=1^3 varepsiloni j k varepsiloni j m=2 de;
  2. nabla times(nabla phi)=0;
  3. nabla cdot(nabla times A)=0;
  4. a times b times c=b(a cdot c)-(a cdot b) c.

Passo 1

Resumo do enunciado: Neste exercício a gente vai trabalhar com o tensor de Levi–Civita varepsilonijk, a delta de Kronecker de e operações de cálculo vetorial. Usaremos a propriedade de contração
sumi=1^3 varepsiloni j k,varepsiloni m n=de
e a definição de produto vetorial
(vec atimesvec b)i=sumj,k=1^3varepsiloni j k,aj,bk
para mostrar quatro identidades.

Passo 2

Prova da identidade 1: Para avaliar
sumi,j=1^3varepsiloni j k,varepsiloni j m,
basta notar que, para cada par de valores fixos (k,m), só existem duas permutações de (i,j) que deixam ambas as varepsilon não nulas e iguais a pm1. Quando k=m essas duas contribuições somam +2; quando kneq m elas se cancelam, dando 0. Logo
sumi,j=1^3varepsiloni j k,varepsiloni j m=2,de

Passo 3

Prova da identidade 2: Para o rotor do gradiente, o componente i-ésimo é
(nablatimes(nablaphi))i=sumj,k=1^3varepsiloni j k,partialjpartialkphi
Como as derivadas parciais comutam ( partialjpartialkphi=partialkpartialjphi) e varepsiloni j k é antissimétrico em j,k, cada termo se anula. Portanto
nablatimes(nablaphi)=vec0

Passo 4

Prova da identidade 3: Para a divergência do rotor,
nablacdot(nablatimesvec A)=sumi=1^3partialil(nablatimesvec Ar)i =sumi,j,k=1^3partialil(varepsiloni j k,partialjAkr) =sumi,j,kvarepsiloni j k,partialipartialjAk
De novo partialipartialjAk=partialjpartialiAk e varepsiloni j k é antissimétrico em i,j, logo o somatório é zero. Então
nablacdot(nablatimesvec A)=0

Passo 5

Prova da identidade 4: Para o triplo produto, tomamos componente i:
((vec atimesvec b)timesvec c)i =sumj,k=1^3varepsiloni j k,(vec atimesvec b)j,ck =sumj,k,r,s=1^3varepsiloni j k,varepsilonj r s,ar,bs,ck
Usando a contração
sumj=1^3varepsiloni j k,varepsilonj r s=de
alcançamos
((vec atimesvec b)timesvec c)i =ai,bs,cs - bi,ar,cr =(vec acdotvec c),bi - (vec acdotvec b),ci
Isso é justamente
vec atimesvec btimesvec c=vec b,(vec acdotvec c)-(vec acdotvec b),vec c

Resposta

  1. sumi,j=1^3varepsiloni j k,varepsiloni j m=2,de. 2. nablatimes(nablaphi)=0. 3. nablacdot(nablatimesA)=0. 4. atimesbtimesc=b(acdotc)-(acdotb),c.

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