Usando a propriedade sumi=1^3 varepsiloni j k varepsiloni m n=de, quando é preciso, a definição das componentes do produto vetorial (a times b)i=sumj, k=1^3 varepsiloni j k aj bk, mostrar que
sumi, j=1^3 varepsiloni j k varepsiloni j m=2 de;
nabla times(nabla phi)=0;
nabla cdot(nabla times A)=0;
a times b times c=b(a cdot c)-(a cdot b) c.
Passo 1
Resumo do enunciado: Neste exercício a gente vai trabalhar com o tensor de Levi–Civita varepsilonijk, a delta de Kronecker de e operações de cálculo vetorial. Usaremos a propriedade de contração
sumi,j=1^3varepsiloni j k,varepsiloni j m,
basta notar que, para cada par de valores fixos (k,m), só existem duas permutações de (i,j) que deixam ambas as varepsilon não nulas e iguais a pm1. Quando k=m essas duas contribuições somam +2; quando kneq m elas se cancelam, dando 0. Logo sumi,j=1^3varepsiloni j k,varepsiloni j m=2,de
Passo 3
Prova da identidade 2: Para o rotor do gradiente, o componente i-ésimo é