Um destes itens é um campo eletrostático impossível. Qual?
(a) k
(b) V(x=0, y=0, z=0)=0
Aqui, nabla V é uma constante com as unidades apropriadas.
Encontre o potencial eletrostático para o campo possível adotando . Cheque sua resposta calculando .

Passo 1

O enunciado dá dois campos vetoriais e pede para achar qual não pode ser um campo eletrostático (isto é, não conservativo) e, para o que for possível, encontrar um potencial com a condição V(0,0,0)=0 e checar depois se ∇V = –E. A matéria aqui é campo conservativo e potencial eletrostático: vamos usar o teste do rotacional (curl) para ver quem falha e depois integrar –E para achar V.

Passo 2

Para o item (a) temos
Ex=0,
Ey=k(2xz+3y^2),
Ez=k(4yz^2)
Calculamos a componente x do rotacional:
( abla imes E)x= racpartial Ezpartial y-partial Eypartial z = k,(4z^2)-k,(2x)=k(4z^2-2x),
que não é zero para todos (x,y,z). Logo o campo (a) não é conservativo e é impossível como campo eletrostático.

Passo 3

Para o item (b) temos
Ex=k,y^2,
Ey=k(2xy+z^2),
Ez=k(2yz)
Calculando as três componentes do rotacional:
( abla imes E)x=k(2z)-k(2z)=0,
( abla imes E)y=0-0=0,
( abla imes E)z=k(2y)-k(2y)=0
Tudo dá zero, então o campo (b) é conservativo.

Passo 4

Para achar o potencial do campo (b) resolvemos –∇V=E. Primeiro
partial Vpartial x=-Ex=-k,y^2
integramos em x:
V=-kxy^2+f(y,z)
Depois
partial Vpartial y=-Ey=-k(2xy+z^2)
partial Vpartial y=-2kxy+partial fpartial y
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partial fpartial y=-kz^2implies f=-kyz^2+g(z)
Por fim
partial Vpartial z=-2kyz+g'(z)=-Ez=-2kyz
implica g’(z)=0, ou seja g=const. Adotando V(0,0,0)=0 faz const=0. Assim
V(x,y,z)=-kxy^2-kyz^2
checa-se que ∇V=-E.

Resposta

O campo (a) é impossível. Para o campo (b), o potencial com V(0,0,0)=0 é
V(x,y,z)=-kxy^2-kyz^2
e realmente satisfaz nabla V=-vec E.

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