(Bussab e Morettin, 2023) Distribuição amostral da diferença de duas médias. Consideremos duas populações
com parâmetros
e
e
com parâmetros
e
. Sorteiam-se duas amostras independentes: a da primeira população de tamanho n e a da segunda de tamanho m . Calculam-se as médias amostrais
e
.
a) Qual a distribuição amostral de
? E de
?
b) Defina
. O que você entende por distribuição amostral de
?
c) Calcule
e
.
d) Como você acha que será a distribuição de
? Por quê?
a) Qual a distribuição amostral de
b) Defina
c) Calcule
d) Como você acha que será a distribuição de
Passo 1
O enunciado trata da distribuição amostral da diferença de duas médias amostrais, tiradas de duas populações independentes:
– Primeira população com média
e variância
, amostrada com tamanho
e média amostral
.
– Segunda população com média
e variância
, amostrada com tamanho
e média amostral
.
Definimos e queremos
a) saber as distribuições de e
;
b) entender o que é distribuição amostral de ;
c) calcular e
;
d) inferir a forma da distribuição de .
– Primeira população
– Segunda população
Definimos
a) saber as distribuições de
b) entender o que é distribuição amostral de
c) calcular
d) inferir a forma da distribuição de
Passo 2
Supondo que as duas populações sejam normais (ou, em amostras grandes, pela CLT), a média amostral de uma população normal também é normal, com
e
Isso vem do fato de que, para
i.i.d.\
,
tem média
e variância
, e análogo para
.
Passo 3
A distribuição amostral de
é a distribuição de probabilidade da variável aleatória
. Ou seja, é a função densidade (ou massa) que nos diz, para cada valor
, qual a probabilidade (ou densidade) de
assumir esse valor quando repetimos o experimento de amostragem muitas vezes.
Passo 4
Como
e
são independentes, temos
e
Passo 5
Para populações normais (ou por CLT se
e
forem grandes),
é combinação linear de normais independentes, logo
Em palavras, a distribuição de
é normal porque a diferença de duas variáveis normais independentes é normal, e no caso não-normal mas com amostras grandes, vale a aproximação normal pela CLT.
Resposta
a)
e
.
b) É a função de densidade (ou massa) de , isto é, a lei de probabilidade que descreve como
se comporta ao repetirmos a amostragem.
c) e
.
d) é normalmente distribuído, pois é a diferença de duas variáveis normais independentes (ou, no caso geral, admite aproximação normal pela CLT quando
e
são grandes):
b) É a função de densidade (ou massa) de
c)
d)