(Bussab e Morettin, 2023) Distribuição amostral da diferença de duas médias. Consideremos duas populações X com parâmetros \mu_{1} e \sigma_{1}^{2} e Y com parâmetros \mu_{2} e \sigma_{2}^{2}. Sorteiam-se duas amostras independentes: a da primeira população de tamanho n e a da segunda de tamanho m . Calculam-se as médias amostrais \bar{X} e \bar{Y}.
a) Qual a distribuição amostral de \bar{X} ? E de \bar{Y} ?
b) Defina D=\bar{X}-\bar{Y}. O que você entende por distribuição amostral de D ?
c) Calcule E(D) e \operatorname{Var}(D).
d) Como você acha que será a distribuição de D ? Por quê?

Passo 1

O enunciado trata da distribuição amostral da diferença de duas médias amostrais, tiradas de duas populações independentes:
– Primeira população X com média \mu_{1} e variância \sigma_{1}^{2}, amostrada com tamanho n e média amostral \bar{X}.
– Segunda população Y com média \mu_{2} e variância \sigma_{2}^{2}, amostrada com tamanho m e média amostral \bar{Y}.
Definimos D = \bar{X} - \bar{Y} e queremos
a) saber as distribuições de \bar{X} e \bar{Y};
b) entender o que é distribuição amostral de D;
c) calcular E(D) e \operatorname{Var}(D);
d) inferir a forma da distribuição de D.

Passo 2

Supondo que as duas populações sejam normais (ou, em amostras grandes, pela CLT), a média amostral de uma população normal também é normal, com
\bar{X}\sim N\Bigl(\mu_{1},\,\frac{\sigma_{1}^{2}}{n}\Bigr)
e
\bar{Y}\sim N\Bigl(\mu_{2},\,\frac{\sigma_{2}^{2}}{m}\Bigr).
Isso vem do fato de que, para X_{1},\dots,X_{n} i.i.d.\ N(\mu_{1},\sigma_{1}^{2}), \bar X=\frac1n\sum_{i=1}^n X_i tem média \mu_{1} e variância \sigma_{1}^{2}/n, e análogo para \bar Y.

Passo 3

A distribuição amostral de D=\bar X-\bar Y é a distribuição de probabilidade da variável aleatória D. Ou seja, é a função densidade (ou massa) que nos diz, para cada valor d, qual a probabilidade (ou densidade) de \bar X-\bar Y assumir esse valor quando repetimos o experimento de amostragem muitas vezes.

Passo 4

Como \bar X e \bar Y são independentes, temos
E(D)=E(\bar X-\bar Y)=E(\bar X)-E(\bar Y)=\mu_{1}-\mu_{2},
e
\operatorname{Var}(D) =\operatorname{Var}(\bar X)+\operatorname{Var}(\bar Y) =\frac{\sigma_{1}^{2}}{n}+\frac{\sigma_{2}^{2}}{m}.

Passo 5

Para populações normais (ou por CLT se n e m forem grandes), D é combinação linear de normais independentes, logo
D=\bar X-\bar Y \sim N\Bigl(\mu_{1}-\mu_{2},\;\frac{\sigma_{1}^{2}}{n}+\frac{\sigma_{2}^{2}}{m}\Bigr).
Em palavras, a distribuição de D é normal porque a diferença de duas variáveis normais independentes é normal, e no caso não-normal mas com amostras grandes, vale a aproximação normal pela CLT.

Resposta

a) \bar{X}\sim N\bigl(\mu_{1},\sigma_{1}^{2}/n\bigr) e \bar{Y}\sim N\bigl(\mu_{2},\sigma_{2}^{2}/m\bigr).
b) É a função de densidade (ou massa) de D=\bar X-\bar Y, isto é, a lei de probabilidade que descreve como \bar X-\bar Y se comporta ao repetirmos a amostragem.
c) E(D)=\mu_{1}-\mu_{2} e \operatorname{Var}(D)=\sigma_{1}^{2}/n+\sigma_{2}^{2}/m.
d) D é normalmente distribuído, pois é a diferença de duas variáveis normais independentes (ou, no caso geral, admite aproximação normal pela CLT quando n e m são grandes):
D\sim N\Bigl(\mu_{1}-\mu_{2},\,\frac{\sigma_{1}^{2}}{n}+\frac{\sigma_{2}^{2}}{m}\Bigr).

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