Tente calcular a integral com um CAS usando a ordem de integração indicada e, depois, invertendo a ordem de integração.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla
primeiro mantendo a ordem dada (usando um CAS) e depois invertendo a ordem de integração. O conteúdo é “troca de ordem de integração” em integrais duplas.
Passo 2
Se tentarmos diretamente com um CAS a integral interna
o CAS retorna uma expressão em termos de funções especiais (por exemplo, integrais de Fresnel), mostrando que não há primitiva elementar simples em
. Logo a abordagem direta não dá um resultado fechado simples.
Passo 3
Agora vamos inverter a ordem de integração. A região no plano
é
Isto equivale a
Portanto a integral fica
Passo 4
Na integral invertida, integramos primeiro em
:
Logo a dupla reduz-se a
Passo 5
Para
fazemos a substituição
, daí
e
.
Quando temos
e quando
temos
. Assim
Quando
Resposta
O valor da integral é
.