Verdadeiro/Falso Determine se a afirmação dada é verdadeira ou falsa. Explique sua resposta.
Se
for a região do plano
delimitada por
e
, então
Se
Passo 1
O enunciado pede para verificar se, para a região
do plano limitada pelas curvas
e
, vale a igualdade
O conteúdo aqui é a troca de ordem e os limites de integração em duplas integrais, além de simetria do domínio.
Passo 2
Descrevemos a região
. As curvas se cruzam quando
, isto é,
. Para cada
,
varia de
até
. Logo, usando coordenadas cartesianas,
Passo 3
O lado direito da afirmação é
que corresponderia a dobrar apenas a integral em
de
a
. Isto é válido somente se
Passo 4
A igualdade acima só ocorre de modo geral se
for par em
, isto é,
. Caso contrário, não podemos substituir
por
.
Exemplo de contraexemplo: tome
. Então
por simetria ímpar, mas
Resposta
Falso.