Tente calcular a integral com um CAS usando a ordem de integração indicada e, depois, invertendo a ordem de integração.
\int_{0}^{4} \int_{\sqrt{x}}^{2} \operatorname{sen} \pi y^{3} d y d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\int_{0}^{4}\int_{\sqrt{x}}^{2}\sin\bigl(\pi y^{3}\bigr)\,dy\,dx
primeiro mantendo a ordem dada (usando um CAS) e depois invertendo a ordem de integração. O conteúdo é “troca de ordem de integração” em integrais duplas.

Passo 2

Se tentarmos diretamente com um CAS a integral interna
\int_{\sqrt{x}}^{2}\sin\bigl(\pi y^{3}\bigr)\,dy
o CAS retorna uma expressão em termos de funções especiais (por exemplo, integrais de Fresnel), mostrando que não há primitiva elementar simples em y. Logo a abordagem direta não dá um resultado fechado simples.

Passo 3

Agora vamos inverter a ordem de integração. A região no plano (x,y) é
0 \le x \le 4,\quad \sqrt{x}\le y\le 2.
Isto equivale a
0 \le y \le 2,\quad 0 \le x \le y^{2}.
Portanto a integral fica
\int_{y=0}^{2}\int_{x=0}^{y^{2}}\sin\bigl(\pi y^{3}\bigr)\,dx\,dy.

Passo 4

Na integral invertida, integramos primeiro em x:
\int_{x=0}^{y^{2}}\sin\bigl(\pi y^{3}\bigr)\,dx =\sin\bigl(\pi y^{3}\bigr)\,\bigl[x\bigr]_{0}^{y^{2}} =y^{2}\,\sin\bigl(\pi y^{3}\bigr).
Logo a dupla reduz-se a
\int_{0}^{2}y^{2}\,\sin\bigl(\pi y^{3}\bigr)\,dy.

Passo 5

Para
\int_{0}^{2}y^{2}\,\sin\bigl(\pi y^{3}\bigr)\,dy
fazemos a substituição \displaystyle u=\pi y^{3}, daí \displaystyle du=3\pi y^{2}dy e \displaystyle y^{2}dy=\frac{du}{3\pi}.
Quando y=0 temos u=0 e quando y=2 temos u=8\pi. Assim
\int_{0}^{2}y^{2}\sin\bigl(\pi y^{3}\bigr)\,dy =\int_{0}^{8\pi}\frac{\sin u}{3\pi}\,du =\frac{1}{3\pi}\Bigl[-\cos u\Bigr]_{0}^{8\pi} =\frac{1}{3\pi}\bigl(-\cos(8\pi)+\cos(0)\bigr) =0.

Resposta

O valor da integral é 0.

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