Verdadeiro/Falso Determine se a afirmação dada é verdadeira ou falsa. Explique sua resposta.
Se R for a região do plano x y delimitada por y=x^{2} e y=1, então
\iint_{R} f(x, y) d A=2 \int_{0}^{1} \int_{x^{2}}^{1} f(x, y) d y d x

Passo 1

O enunciado pede para verificar se, para a região R do plano limitada pelas curvas y=x^{2} e y=1, vale a igualdade
\iint_{R}f(x,y)\,dA \;=\; 2\int_{0}^{1}\int_{x^{2}}^{1}f(x,y)\,dy\,dx.
O conteúdo aqui é a troca de ordem e os limites de integração em duplas integrais, além de simetria do domínio.

Passo 2

Descrevemos a região R. As curvas se cruzam quando x^{2}=1, isto é, x=\pm1. Para cada x\in[-1,1], y varia de y=x^{2} até y=1. Logo, usando coordenadas cartesianas,
\iint_{R}f(x,y)\,dA =\int_{x=-1}^{1}\int_{y=x^{2}}^{1}f(x,y)\,dy\,dx.

Passo 3

O lado direito da afirmação é
2\int_{0}^{1}\int_{x^{2}}^{1}f(x,y)\,dy\,dx,
que corresponderia a dobrar apenas a integral em x de 0 a 1. Isto é válido somente se
\int_{-1}^{0}\int_{x^{2}}^{1}f(x,y)\,dy\,dx \;=\; \int_{0}^{1}\int_{x^{2}}^{1}f(x,y)\,dy\,dx.

Passo 4

A igualdade acima só ocorre de modo geral se f(x,y) for par em x, isto é, f(-x,y)=f(x,y). Caso contrário, não podemos substituir \int_{-1}^{1}=\int_{-1}^{0}+\int_{0}^{1} por 2\int_{0}^{1}.
Exemplo de contra­exemplo: tome f(x,y)=x. Então
\iint_{R}x\,dA =\int_{-1}^{1}\int_{x^{2}}^{1}x\,dy\,dx =0
por simetria ímpar, mas
2\int_{0}^{1}\int_{x^{2}}^{1}x\,dy\,dx>0.

Resposta

Falso.

Exercícios relacionados