Tente explicar as seguintes propriedades dos números reais: Sejam
quaisquer
(o) Se
então
(o) Se
Passo 1
O enunciado quer mostrar que, para quaisquer
com
, vale
Vamos usar as propriedades de inverso aditivo (o “menos”) e inverso multiplicativo para frações, além de associatividade e comutatividade da multiplicação.
Passo 2
Mostrando que
Por definição de número oposto,
para todo
. Assim,
onde, na última igualdade, usamos que multiplicar uma fração
por
é o mesmo que multiplicar o numerador por
. Mas
, logo
Passo 3
Mostrando que
Começamos escrevendo
Como
é invertível (já que
), vale
pois o inverso de
é
vezes o inverso de
. Substituindo:
Assim, concluímos