Teorema 2.19. Seja
um subespaço de um espaço com produto interno
e seja
um vetor de
.
Se
é de dimensão finita e
é qualquer base ortogonal para
, então o vetor
é a projeção vetorial de
sobre
.
Se
Passo 1
O enunciado diz o seguinte (vou deixar bem claro o que está sendo dado e o que precisa ser mostrado):
- Seja
um espaço com produto interno e seja um subespaço de . - Suponha que
é de dimensão finita e que é uma base ortogonal de . Isso significa que sempre que . - Dado um vetor
, define-se o vetor
- O que o enunciado pede: mostrar que esse vetor
é a projeção vetorial de sobre . Ou seja, mostrar que e que é ortogonal a todo vetor de (essa é a definição que vamos usar para “projeção”).
Eu só identifiquei os dados e o pedido; não comecei a resolver ainda.
Passo 2
Relembrando (de forma bem prática) os conceitos que vamos usar — explico cada fórmula e cada variável:
- Produto interno:
é um número que mede “semelhança” entre e . Temos linearidade nas entradas apropriadas e . - Norma induzida:
. Em particular . - Ortogonalidade:
é ortogonal a se . - Base ortogonal
significa que para . Note que é atalho para . - Definição de projeção (que vamos usar): um vetor
é a projeção de sobre se é ortogonal a todo vetor de ; isto é,
Essa propriedade caracteriza a projeção e garante unicidade.
Agora vamos aplicar esses conceitos ao vetor
dado.
Passo 3
Primeira verificação simples:
está realmente em
.
- A expressão de
é uma combinação linear dos vetores com coeficientes escalares . - Como
é o subespaço gerado por , qualquer combinação linear desses vetores pertence a .
Logo, concluímos que
Passo 4
Agora a parte crucial: mostrar que
é ortogonal a todo vetor de
. Para isso tomo um vetor arbitrário
e mostro que
.
- Como
é base de , posso escrever
onde
são escalares (os coeficientes da combinação linear de
).
- Calculo
usando linearidade do produto interno:
Pelo bilinearidade (ou sesquilinearidade, conforme o caso, mas a ideia é a mesma) do produto interno, isto se expande em soma dupla:
- Agora uso a ortogonalidade da base:
sempre que . Só restam os termos com :
- Mas
, então cada fator cancela com o denominador, ficando
- Reescrevendo a soma como produto interno, observamos que
Portanto
.
- Subtraindo, obtemos
- Como
era arbitrário, concluímos que é ortogonal a todo vetor de : isto é,
Passo 5
Com o que já provamos, concluímos que
satisfaz a definição de projeção de
sobre
: está em
e
é ortogonal a
. Então
é a projeção de
sobre
.
Além disso, vale comentar a unicidade (importante para você entender por que falamos “a” projeção, não “uma”):
- Se existisse outro
com , então (diferença de dois vetores de ) e também é ortogonal a (diferença de dois vetores ortogonais a ). Logo está em e é ortogonal a , o que implica , portanto , isto é . Assim a projeção é única.
Passo 6
Propriedade extra útil para a prova (e muito usada em exercícios):
minimiza a distância de
a
. Vou mostrar a identidade de Pitágoras que formaliza isso:
- Tome qualquer
. Podemos escrever . Como (o primeiro é ortogonal a todo vetor de , e ), temos pelo produto interno:
- Em particular
com igualdade somente quando . Então a projeção é o vetor de que mais aproxima (menor distância).
Essa propriedade é prática na hora da prova para justificar mínimos de norma.
Passo 7
Um exemplo rápido e concreto para fixar a ideia (só para você visualizar): em
com o produto interno usual, projete
sobre a reta gerada por
. Aqui
e
. A fórmula dá
que é o que esperamos: a projeção sobre o eixo
. Esse tipo de exemplo simples ajuda a ver que a fórmula é natural.
Resposta
O vetor
é a projeção de
sobre
.