Teorema 2.19. Seja W um subespaço de um espaço com produto interno V e seja v um vetor de V.
Se W é de dimensão finita e \left\{v_{1}, \ldots, v_{n}\right\} é qualquer base ortogonal para W, então o vetor
w=\sum_{k} \frac{\left\langle v, v_{k}\right\rangle}{\left|v_{k}\right|^{2}} v_{k}
é a projeção vetorial de v sobre W.

Passo 1

O enunciado diz o seguinte (vou deixar bem claro o que está sendo dado e o que precisa ser mostrado):
  • Seja V um espaço com produto interno e seja W um subespaço de V.
  • Suponha que W é de dimensão finita e que \{v_{1},\ldots,v_{n}\} é uma base ortogonal de W. Isso significa que \left\langle v_{i},v_{j}\right\rangle=0 sempre que i\neq j.
  • Dado um vetor v\in V, define-se o vetor
w=\sum_{k=1}^{n}\frac{\left\langle v,v_{k}\right\rangle}{\left|v_{k}\right|^{2}}\,v_{k}.
  • O que o enunciado pede: mostrar que esse vetor w é a projeção vetorial de v sobre W. Ou seja, mostrar que w\in W e que v-w é ortogonal a todo vetor de W (essa é a definição que vamos usar para “projeção”).
Eu só identifiquei os dados e o pedido; não comecei a resolver ainda.

Passo 2

Relembrando (de forma bem prática) os conceitos que vamos usar — explico cada fórmula e cada variável:
  • Produto interno: \left\langle x,y\right\rangle é um número que mede “semelhança” entre x e y. Temos linearidade nas entradas apropriadas e \left\langle x,x\right\rangle\ge 0.
  • Norma induzida: \|x\|=\sqrt{\left\langle x,x\right\rangle}. Em particular \|x\|^{2}=\left\langle x,x\right\rangle.
  • Ortogonalidade: x é ortogonal a y se \left\langle x,y\right\rangle=0.
  • Base ortogonal \{v_k\} significa que \left\langle v_i,v_j\right\rangle=0 para i\ne j. Note que \left|v_k\right|^{2} é atalho para \left\langle v_k,v_k\right\rangle.
  • Definição de projeção (que vamos usar): um vetor w\in W é a projeção de v sobre W se v-w é ortogonal a todo vetor de W; isto é,
\text{para todo }u\in W,\quad \left\langle v-w,\,u\right\rangle=0.
Essa propriedade caracteriza a projeção e garante unicidade.
Agora vamos aplicar esses conceitos ao vetor w dado.

Passo 3

Primeira verificação simples: w está realmente em W.
  • A expressão de w é uma combinação linear dos vetores v_{1},\ldots,v_{n} com coeficientes escalares \dfrac{\left\langle v,v_{k}\right\rangle}{\left|v_{k}\right|^{2}}.
  • Como W é o subespaço gerado por \{v_{1},\ldots,v_{n}\}, qualquer combinação linear desses vetores pertence a W.
    Logo, concluímos que
w\in W.

Passo 4

Agora a parte crucial: mostrar que v-w é ortogonal a todo vetor de W. Para isso tomo um vetor arbitrário u\in W e mostro que \left\langle v-w,u\right\rangle=0.
  • Como \{v_{1},\ldots,v_{n}\} é base de W, posso escrever
u=\sum_{j=1}^{n}\beta_{j}\,v_{j},
onde \beta_{1},\ldots,\beta_{n} são escalares (os coeficientes da combinação linear de u).
  • Calculo \left\langle w,u\right\rangle usando linearidade do produto interno:
\left\langle w,u\right\rangle = \left\langle \sum_{k=1}^{n}\frac{\left\langle v,v_{k}\right\rangle}{\left|v_{k}\right|^{2}}v_{k},\;\sum_{j=1}^{n}\beta_{j}v_{j}\right\rangle.
Pelo bilinearidade (ou sesquilinearidade, conforme o caso, mas a ideia é a mesma) do produto interno, isto se expande em soma dupla:
\left\langle w,u\right\rangle = \sum_{k=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}\frac{\left\langle v,v_{k}\right\rangle}{\left|v_{k}\right|^{2}}\beta_{j}\left\langle v_{k},v_{j}\right\rangle.
  • Agora uso a ortogonalidade da base: \left\langle v_{k},v_{j}\right\rangle=0 sempre que j\neq k. Só restam os termos com j=k:
\left\langle w,u\right\rangle = \sum_{k=1}^{n}\frac{\left\langle v,v_{k}\right\rangle}{\left|v_{k}\right|^{2}}\beta_{k}\left\langle v_{k},v_{k}\right\rangle.
  • Mas \left\langle v_{k},v_{k}\right\rangle=\left|v_{k}\right|^{2}, então cada fator \left|v_{k}\right|^{2} cancela com o denominador, ficando
\left\langle w,u\right\rangle = \sum_{k=1}^{n}\beta_{k}\left\langle v,v_{k}\right\rangle.
  • Reescrevendo a soma como produto interno, observamos que
\sum_{k=1}^{n}\beta_{k}\left\langle v,v_{k}\right\rangle = \left\langle v, \sum_{k=1}^{n}\beta_{k}v_{k}\right\rangle = \left\langle v,u\right\rangle.
Portanto \left\langle w,u\right\rangle=\left\langle v,u\right\rangle.
  • Subtraindo, obtemos
\left\langle v-w,u\right\rangle=\left\langle v,u\right\rangle-\left\langle w,u\right\rangle=0.
  • Como u\in W era arbitrário, concluímos que v-w é ortogonal a todo vetor de W: isto é,
v-w\perp W.

Passo 5

Com o que já provamos, concluímos que w satisfaz a definição de projeção de v sobre W: está em W e v-w é ortogonal a W. Então w é a projeção de v sobre W.
Além disso, vale comentar a unicidade (importante para você entender por que falamos “a” projeção, não “uma”):
  • Se existisse outro w'\in W com v-w'\perp W, então (w-w')\in W (diferença de dois vetores de W) e também w-w'=(v-w')-(v-w) é ortogonal a W (diferença de dois vetores ortogonais a W). Logo w-w' está em W e é ortogonal a W, o que implica \|w-w'\|^{2}=\left\langle w-w',w-w'\right\rangle=0, portanto w-w'=0, isto é w'=w. Assim a projeção é única.

Passo 6

Propriedade extra útil para a prova (e muito usada em exercícios): w minimiza a distância de v a W. Vou mostrar a identidade de Pitágoras que formaliza isso:
  • Tome qualquer u\in W. Podemos escrever v-u=(v-w)+(w-u). Como v-w\perp w-u (o primeiro é ortogonal a todo vetor de W, e w-u\in W), temos pelo produto interno:
\|v-u\|^{2}=\|v-w\|^{2}+\|w-u\|^{2}.
  • Em particular \|v-u\|^{2}\ge \|v-w\|^{2} com igualdade somente quando u=w. Então a projeção w é o vetor de W que mais aproxima v (menor distância).
Essa propriedade é prática na hora da prova para justificar mínimos de norma.

Passo 7

Um exemplo rápido e concreto para fixar a ideia (só para você visualizar): em \mathbb{R}^{2} com o produto interno usual, projete v=(3,4) sobre a reta gerada por v_{1}=(1,0). Aqui \left\langle v,v_{1}\right\rangle=3 e \left|v_{1}\right|^{2}=1. A fórmula dá
w=\frac{\left\langle v,v_{1}\right\rangle}{\left|v_{1}\right|^{2}}v_{1}=3\,(1,0)=(3,0),
que é o que esperamos: a projeção sobre o eixo x. Esse tipo de exemplo simples ajuda a ver que a fórmula é natural.

Resposta

O vetor \displaystyle w=\sum_{k=1}^{n}\frac{\left\langle v,v_{k}\right\rangle}{\left|v_{k}\right|^{2}}v_{k} é a projeção de v sobre W.

Exercícios relacionados