Teorema 2.19. Seja
um subespaço de um espaço com produto interno
e seja
um vetor de
.
Se uma projeção vetorial para v sobre
existir, é única.
Se uma projeção vetorial para v sobre
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede. Temos um espaço com produto interno
, um subespaço
e um vetor
. O enunciado afirma: “Se uma projeção vetorial para
sobre
existir, é única.”
Informações importantes fornecidas:
Uma projeção de
sobre
significa um vetor
tal que
é ortogonal a
. Em símbolos:
e
para todo
.
A tarefa é mostrar que, se existem duas projeções (dois vetores de
que satisfazem essa condição), então elas devem ser idênticas — isto é, provar a unicidade da projeção.
Não vamos ainda resolver; só identifiquei o que é dado e o que precisamos provar.
Informações importantes fornecidas:
Não vamos ainda resolver; só identifiquei o que é dado e o que precisamos provar.
Passo 2
Vamos assumir que existam duas projeções e escrever as hipóteses explicitamente. Seja
e
dois vetores em
tais que ambos são projeções de
em
. Então, por hipótese, temos:
para todo
.
para todo
.
Observação imediata: como e
, a diferença
também pertence a
(porque
é subespaço, fechado por soma e multiplicação por escalares). Esta observação será útil porque podemos testar a ortogonalidade dessas diferenças.
Observação imediata: como
Passo 3
Usamos a ortogonalidade das diferenças com o vetor
. Pelo fato de
ser ortogonal a todo vetor de
, em particular temos
Do mesmo modo, porque
é ortogonal a todo vetor de
, temos
Essas duas igualdades são válidas porque explicitamente
.
Passo 4
Subtraímos as duas igualdades do Passo 3 para eliminar
. Fazendo
, obtemos, por linearidade do produto interno na primeira coordenada,
Simplificando a diferença dos parênteses aparece
, portanto
Passo 5
Usamos a propriedade de fatoração por escalares do produto interno. Note que
, assim
Pelo Passo 4 sabemos que esse número vale
. Logo
Agora lembramos uma propriedade fundamental do produto interno: para todo
temos
, e
se e somente se
é o vetor nulo. Esse número
é justamente
, o quadrado da norma.
Passo 6
Pelo resultado do Passo 5,
, portanto
, o que implica
. Assim
. Concluímos que duas projeções de
sobre
não podem ser diferentes; se existirem, coincidem.
Resposta
A projeção é única:
.