Teorema 2.19. Seja W um subespaço de um espaço com produto interno V e seja v um vetor de V.
Se uma projeção vetorial para v sobre W existir, é única.

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede. Temos um espaço com produto interno V, um subespaço W\subset V e um vetor v\in V. O enunciado afirma: “Se uma projeção vetorial para v sobre W existir, é única.”
Informações importantes fornecidas:
\bullet Uma projeção de v sobre W significa um vetor p\in W tal que v-p é ortogonal a W. Em símbolos: p\in W e \langle v-p, w\rangle = 0 para todo w\in W.
\bullet A tarefa é mostrar que, se existem duas projeções (dois vetores de W que satisfazem essa condição), então elas devem ser idênticas — isto é, provar a unicidade da projeção.
Não vamos ainda resolver; só identifiquei o que é dado e o que precisamos provar.

Passo 2

Vamos assumir que existam duas projeções e escrever as hipóteses explicitamente. Seja p e q dois vetores em W tais que ambos são projeções de v em W. Então, por hipótese, temos:
\;p\in W,\qquad \langle v-p, w\rangle = 0 para todo w\in W.
\;q\in W,\qquad \langle v-q, w\rangle = 0 para todo w\in W.
Observação imediata: como p\in W e q\in W, a diferença p-q também pertence a W (porque W é subespaço, fechado por soma e multiplicação por escalares). Esta observação será útil porque podemos testar a ortogonalidade dessas diferenças.

Passo 3

Usamos a ortogonalidade das diferenças com o vetor p-q\in W. Pelo fato de v-p ser ortogonal a todo vetor de W, em particular temos
\langle v-p,\, p-q\rangle = 0.
Do mesmo modo, porque v-q é ortogonal a todo vetor de W, temos
\langle v-q,\, p-q\rangle = 0.
Essas duas igualdades são válidas porque explicitamente p-q\in W.

Passo 4

Subtraímos as duas igualdades do Passo 3 para eliminar v. Fazendo \langle v-p,\, p-q\rangle - \langle v-q,\, p-q\rangle = 0 - 0 = 0, obtemos, por linearidade do produto interno na primeira coordenada,
\langle (v-p) - (v-q),\, p-q\rangle = 0.
Simplificando a diferença dos parênteses aparece q-p, portanto
\langle q-p,\, p-q\rangle = 0.

Passo 5

Usamos a propriedade de fatoração por escalares do produto interno. Note que q-p = -(p-q), assim
\langle q-p,\, p-q\rangle = \langle -(p-q),\, p-q\rangle = -\langle p-q,\, p-q\rangle.
Pelo Passo 4 sabemos que esse número vale 0. Logo
- \langle p-q,\, p-q\rangle = 0 \quad\Longrightarrow\quad \langle p-q,\, p-q\rangle = 0.
Agora lembramos uma propriedade fundamental do produto interno: para todo x\in V temos \langle x,x\rangle \ge 0, e \langle x,x\rangle = 0 se e somente se x é o vetor nulo. Esse número \langle x,x\rangle é justamente \|x\|^2, o quadrado da norma.

Passo 6

Pelo resultado do Passo 5, \langle p-q,\, p-q\rangle = 0, portanto \|p-q\|^2 = 0, o que implica p-q = 0. Assim p=q. Concluímos que duas projeções de v sobre W não podem ser diferentes; se existirem, coincidem.

Resposta

A projeção é única: p=q.

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