Defina classe de equivalência e conjunto quociente.
Passo 1
O que o enunciado pede: definir, com clareza, o que é uma classe de equivalência e o que é um conjunto quociente. Não há outras informações dadas além desse pedido.
Passo 2
Primeiro precisamos entender o objeto base: vamos supor que existe um conjunto qualquer
e uma relação binária
em
. Uma relação
é chamada de relação de equivalência quando satisfaz três propriedades para todos
:
Essas propriedades significam, em palavras: todo elemento é equivalente a si mesmo; se um é equivalente ao outro, o contrário também vale; e equivalência se “transporta” através de intermediários. Antes de seguir, não se assuste: são condições bem naturais — pense em “ter a mesma cor de cabelo” como exemplo informal (reflexiva: você tem a mesma cor que você; simétrica: se A tem a mesma cor que B então B tem a mesma cor que A; transitiva: se A tem a mesma cor que B e B tem a mesma cor que C, então A tem a mesma cor que C).
Passo 3
Agora a definição da classe de equivalência. Dado
, a classe de equivalência de
(relativa à relação
) é o conjunto de todos os elementos de
que são equivalentes a
. Em notação:
Interpretação informal:
é o “grupo” de elementos que, segundo a relação
, são indistinguíveis de
. Exemplo concreto e muito usado: tome
e defina
se
. Então
ou seja, a classe é o conjunto de inteiros congruentes a
módulo
.
Passo 4
Propriedade importante das classes: se
então
. Vou provar isso passo a passo (isso é útil na prova para mostrar que classes se “fundem” quando têm interseção):
- Se
então por definição de . - Para qualquer
temos: exatamente quando . - Usando a simetria e transitividade da relação:
é equivalente a . Mais detalhado: e implicam pela transitividade; e se então, como e simetria dá , pela transitividade . Assim . - Logo os conjuntos
e têm exatamente os mesmos elementos, ou seja .
Passo 5
Das propriedades anteriores segue uma consequência prática e muito usada: duas classes de equivalência são ou idênticas ou disjuntas. Prova rápida: suponha
; então existe
em
. Assim
e
, então por Passo 4 temos
e
, logo
. Portanto, se não são iguais, não se interceptam. Outra consequência: a união de todas as classes cobre todo
, pois cada
pertence à sua própria classe
. Em resumo, as classes formam uma partição de
(coleção de subconjuntos não vazios, dois a dois disjuntos, cuja união é
).
Passo 6
Agora definimos o conjunto quociente. O conjunto quociente de
por
é o conjunto das classes de equivalência. Em notação:
Cada elemento de
é uma classe de equivalência — ou seja, um bloco da partição de
determinada por
. No exemplo dos inteiros módulo
temos o conjunto quociente
, cujos elementos são as
classes
.
Passo 7
Mapa canônico (útil na prova): existe uma função natural (surjetiva) chamada projeção canônica
Ela envia cada elemento para a sua classe. Essa função é prática para “colar” elementos equivalentes em uma só entidade; muitas construções em álgebra usam essa projeção.
Passo 8
Dicas práticas para usar isso em prova:
- Para mostrar que algo é uma classe de equivalência, primeiro mostre que a relação é reflexiva, simétrica e transitiva.
- Para mostrar que duas classes são iguais, basta mostrar que um representante de uma pertence à outra (ou vice-versa).
- Para exibir o conjunto quociente, escolha representantes convenientes (por exemplo,
em ). - Ao raciocinar, pense: “classes = blocos da partição”; isso ajuda a visualizar.
Passo 9
Exemplo rápido e final para fixar: com
em
temos
e o conjunto quociente é
.
Resposta
Classe de equivalência de
:
Conjunto quociente:
Conjunto quociente: