Defina classe de equivalência e conjunto quociente.

Passo 1

O que o enunciado pede: definir, com clareza, o que é uma classe de equivalência e o que é um conjunto quociente. Não há outras informações dadas além desse pedido.

Passo 2

Primeiro precisamos entender o objeto base: vamos supor que existe um conjunto qualquer X e uma relação binária \sim em X. Uma relação \sim é chamada de relação de equivalência quando satisfaz três propriedades para todos a,b,c\in X:
\text{(reflexiva) }\; a\sim a,
\text{(simétrica) }\; a\sim b\Rightarrow b\sim a,é
\text{(transitiva) }\; a\sim b\;\text{ e }\; b\sim c\Rightarrow a\sim c.
Essas propriedades significam, em palavras: todo elemento é equivalente a si mesmo; se um é equivalente ao outro, o contrário também vale; e equivalência se “transporta” através de intermediários. Antes de seguir, não se assuste: são condições bem naturais — pense em “ter a mesma cor de cabelo” como exemplo informal (reflexiva: você tem a mesma cor que você; simétrica: se A tem a mesma cor que B então B tem a mesma cor que A; transitiva: se A tem a mesma cor que B e B tem a mesma cor que C, então A tem a mesma cor que C).

Passo 3

Agora a definição da classe de equivalência. Dado x\in X, a classe de equivalência de x (relativa à relação \sim) é o conjunto de todos os elementos de X que são equivalentes a x. Em notação:
[x]=\{y\in X \mid y\sim x\}.
Interpretação informal: [x] é o “grupo” de elementos que, segundo a relação \sim, são indistinguíveis de x. Exemplo concreto e muito usado: tome X=\mathbb{Z} e defina a\sim b se a\equiv b\pmod n. Então
[a]=\{a+kn \mid k\in\mathbb{Z}\},
ou seja, a classe é o conjunto de inteiros congruentes a a módulo n.

Passo 4

Propriedade importante das classes: se y\in[x] então [y]=[x]. Vou provar isso passo a passo (isso é útil na prova para mostrar que classes se “fundem” quando têm interseção):
  • Se y\in[x] então y\sim x por definição de [x].
  • Para qualquer z\in X temos: z\in[y] exatamente quando z\sim y.
  • Usando a simetria e transitividade da relação: z\sim y é equivalente a z\sim x. Mais detalhado: z\sim y e y\sim x implicam z\sim x pela transitividade; e se z\sim x então, como y\sim x e simetria dá x\sim y, pela transitividade z\sim y. Assim z\sim y\Leftrightarrow z\sim x.
  • Logo os conjuntos [y] e [x] têm exatamente os mesmos elementos, ou seja [y]=[x].

Passo 5

Das propriedades anteriores segue uma consequência prática e muito usada: duas classes de equivalência são ou idênticas ou disjuntas. Prova rápida: suponha [x]\cap[y]\neq\varnothing; então existe z em [x]\cap[y]. Assim z\in[x] e z\in[y], então por Passo 4 temos [z]=[x] e [z]=[y], logo [x]=[y]. Portanto, se não são iguais, não se interceptam. Outra consequência: a união de todas as classes cobre todo X, pois cada x\in X pertence à sua própria classe [x]. Em resumo, as classes formam uma partição de X (coleção de subconjuntos não vazios, dois a dois disjuntos, cuja união é X).

Passo 6

Agora definimos o conjunto quociente. O conjunto quociente de X por \sim é o conjunto das classes de equivalência. Em notação:
X/\sim=\{[x]\mid x\in X\}.
Cada elemento de X/\sim é uma classe de equivalência — ou seja, um bloco da partição de X determinada por \sim. No exemplo dos inteiros módulo n temos o conjunto quociente \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}, cujos elementos são as n classes [0],[1],\dots,[n-1].

Passo 7

Mapa canônico (útil na prova): existe uma função natural (surjetiva) chamada projeção canônica
\pi:X\to X/\sim,\qquad \pi(x)=[x].
Ela envia cada elemento para a sua classe. Essa função é prática para “colar” elementos equivalentes em uma só entidade; muitas construções em álgebra usam essa projeção.

Passo 8

Dicas práticas para usar isso em prova:
  • Para mostrar que algo é uma classe de equivalência, primeiro mostre que a relação é reflexiva, simétrica e transitiva.
  • Para mostrar que duas classes são iguais, basta mostrar que um representante de uma pertence à outra (ou vice-versa).
  • Para exibir o conjunto quociente, escolha representantes convenientes (por exemplo, 0,1,\dots,n-1 em \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}).
  • Ao raciocinar, pense: “classes = blocos da partição”; isso ajuda a visualizar.

Passo 9

Exemplo rápido e final para fixar: com n=3 em \mathbb{Z} temos
[0]=\{\dots,-6,-3,0,3,6,\dots\},\qquad [1]=\{\dots,-5,-2,1,4,7,\dots\},
[2]=\{\dots,-4,-1,2,5,8,\dots\},
e o conjunto quociente é \mathbb{Z}/3\mathbb{Z}=\{[0],[1],[2]\}.

Resposta

Classe de equivalência de x: [x]=\{y\in X \mid y\sim x\}.
Conjunto quociente: X/\sim=\{[x]\mid x\in X\}.

Exercícios relacionados