Use uma aproximação linear (f(x, y) approx L(x, y) para estimar (1,01 ; 0,99) considerando a
f(x, y)=x^3 y^4.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para usar uma aproximação linear para estimar o valor de , onde a função é . Vamos precisar entender sobre aproximação linear, que é uma técnica de cálculo para aproximar valores de uma função perto de um ponto conhecido usando a reta tangente.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o ponto em que vamos fazer a aproximação. Como queremos estimar em , vamos usar o ponto mais próximo que é .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a aproximação linear L(x, y) = f(a, b) + fx(a, b)(x - a) + fy(a, b)(y - b) da função no ponto . A fórmula geral da aproximação linear é:
Onde é o ponto de aproximação, e e são as derivadas parciais de em relação a e , respectivamente.

Passo 4

Vamos calcular f(1, 1) = 1^3 times 1^4 = 1 times 1 = 1 :

Passo 5

Agora, calculamos as derivadas parciais de fx(x, y) = partialpartial x(x^3 y^4) = 3x^2 y^4 :
fy(x, y) = partialpartial y(x^3 y^4) = 4x^3 y^3

Passo 6

Vamos avaliar as derivadas parciais no ponto fx(1, 1) = 3 times 1^2 times 1^4 = 3 times 1 times 1 = 3 :
fy(1, 1) = 4 times 1^3 times 1^3 = 4 times 1 times 1 = 4

Passo 7

Agora, substituímos tudo na fórmula da aproximação linear:
L(x, y) = 1 + 3(x - 1) + 4(y - 1)

Passo 8

Queremos estimar L(1,01, 0,99) = 1 + 3(1,01 - 1) + 4(0,99 - 1) , então substituímos e na aproximação linear:

Passo 9

Calculando as diferenças:
1,01 - 1 = 0,01
0,99 - 1 = -0,01
Substituindo de novo:
L(1,01, 0,99) = 1 + 3 times 0,01 + 4 times (-0,01)

Passo 10

Resolvendo as multiplicações:
3 times 0,01 = 0,03
4 times (-0,01) = -0,04
Então:
L(1,01, 0,99) = 1 + 0,03 - 0,04 = 1 - 0,01 = 0,99

Resposta

A estimativa usando aproximação linear de é 0,99.

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