Teorema do Confronto: Sejam
e
sequências convergentes para
. Seja
outra sequência para a qual existe
tal que
para todo
. Mostre que
converge para
.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos três sequências:
,
e
. As duas primeiras,
e
, estão convergindo para o mesmo limite
. A terceira sequência,
, está “presa” entre
e
a partir de um certo ponto
, ou seja, para todo
, temos
. O que precisamos mostrar é que
também converge para
. Para resolver isso, vamos usar o Teorema do Confronto, que basicamente diz que se uma sequência está entre duas outras que convergem para o mesmo limite, ela também converge para esse limite.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma sequência convergir para um limite
. Dizemos que
converge para
se, para todo
, existe um índice
tal que, para todo
, a distância entre
e
é menor que
. Ou seja,
.
Passo 3
Como
converge para
, para qualquer
, existe um número
tal que, para todo
, temos:
Isso significa que
está muito próximo de
quando
é grande o suficiente.
Passo 4
Da mesma forma, como
também converge para
, para o mesmo
, existe um número
tal que, para todo
, temos:
Então, tanto
quanto
estão próximos de
para
grande.
Passo 5
Agora, vamos escolher
. Isso garante que, para todo
, as seguintes condições são verdadeiras:
Passo 6
Como
e ambos
e
estão a menos de
de
, podemos afirmar que
também está a menos de
de
. Isso porque
está entre dois valores que estão muito próximos de
.
Passo 7
Matematicamente, podemos escrever:
Dessa forma, temos que:
Para todo
.
Resposta
Assim, mostramos que
converge para
, ou seja,
.