Teorema do Confronto: Sejam an e bn sequências convergentes para L in R. Seja cn outra sequência para a qual existe n0 in N tal que an <= cn <= bn para todo n >= n0. Mostre que cn converge para L.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos três sequências: an, bn e cn. As duas primeiras, an e bn, estão convergindo para o mesmo limite L. A terceira sequência, cn, está “presa” entre an e bn a partir de um certo ponto n0, ou seja, para todo n >= n0, temos an <= cn <= bn. O que precisamos mostrar é que cn também converge para L. Para resolver isso, vamos usar o Teorema do Confronto, que basicamente diz que se uma sequência está entre duas outras que convergem para o mesmo limite, ela também converge para esse limite.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma sequência convergir para um limite L. Dizemos que an converge para L se, para todo epsilon > 0, existe um índice N tal que, para todo n >= N, a distância entre an e L é menor que epsilon. Ou seja, |an - L| < epsilon.

Passo 3

Como an converge para L, para qualquer epsilon > 0, existe um número N1 tal que, para todo n >= N1, temos:
|an - L| < epsilon
Isso significa que an está muito próximo de L quando n é grande o suficiente.

Passo 4

Da mesma forma, como bn também converge para L, para o mesmo epsilon > 0, existe um número N2 tal que, para todo n >= N2, temos:
|bn - L| < epsilon
Então, tanto an quanto bn estão próximos de L para n grande.

Passo 5

Agora, vamos escolher N = maxN1, N2, n0. Isso garante que, para todo n >= N, as seguintes condições são verdadeiras:
an <= cn <= bn
|an - L| < epsilon
|bn - L| < epsilon

Passo 6

Como an <= cn <= bn e ambos an e bn estão a menos de epsilon de L, podemos afirmar que cn também está a menos de epsilon de L. Isso porque cn está entre dois valores que estão muito próximos de L.

Passo 7

Matematicamente, podemos escrever:
L - epsilon < an <= cn <= bn < L + epsilon
Dessa forma, temos que:
|cn - L| < epsilon
Para todo n >= N.

Resposta

Assim, mostramos que cn converge para L, ou seja, limn to infty cn = L.

Exercícios relacionados