O Teorema Fundamental do Cálculo estabelece uma conexão fundamental entre as operações de diferenciação e integração. Qual das alternativas abaixo descreve corretamente o Teorema Fundamental do Cálculo?
Escolha uma opção:
a) O Teorema Fundamental do Cálculo afirma que, para uma função não contínua, a integral de f(x) não existe
b) O Teorema Fundamental do Cálculo afirma que, se fé uma função contínua em [a,b] a integral definida de fem [a,b] pode ser calculada diretamente pela derivada def(x).
c) O Teorema Fundamental do Cálculo estabelece que, se fé contínua, a integral definida de f de a até b é dada pela diferença entre as antiderivadas de f avaliadas embea.
d) O Teorema Fundamental do Cálculo afirma que, para uma função contínua, a integral de f(x) entre a e b pode ser calculada pela soma das diferenças de seus valores na origem e no limite superior.
e) O Teorema Fundamental do Cálculo diz que, para calcular a integral definida de uma função contínua, precisamos somar infinitos retângulos com altura dada pela derivada da função.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente identificar qual das alternativas descreve corretamente o Teorema Fundamental do Cálculo. Esse teorema é super importante em cálculo, pois liga a diferenciação com a integração. Para resolver, vamos lembrar o que o teorema diz e ver qual opção está alinhada com isso.

Passo 2

Primeiro, o Teorema Fundamental do Cálculo tem duas partes principais:
  1. Primeira parte: Se você tem uma função contínua $ f $ no intervalo f , então a função que acumula a integral de $ f $ desde $ a $ até $ x $ tem uma derivada igual a $ f(x) $.
  2. Segunda parte: Se $ F $ é uma antiderivada de $ f $ (ou seja, $ F’ = f $), então a integral definida de $ f $ de $ a $ a $ b $ é dada por $ F(b) - F(a) $.

Passo 3

Vamos analisar as alternativas:
  • a) Fala sobre funções não contínuas, mas o teorema requer que $ f $ seja contínua. Então, essa está errada.
  • b) Diz que a integral pode ser calculada diretamente pela derivada, o que não faz sentido. O teorema liga a integral à antiderivada, não diretamente à derivada.
  • c) Afirma que, se $ f $ é contínua, a integral definida de $ f $ de $ a $ a $ b $ é a diferença entre as antiderivadas avaliadas em $ b $ e $ a $. Isso está exatamente de acordo com a segunda parte do teorema.
  • d) Fala sobre soma das diferenças dos valores na origem e no limite, o que não descreve corretamente o teorema.
  • e) Menciona somar retângulos com altura dada pela derivada, mas a integral soma áreas com altura dada pela função original, não pela derivada.

Resposta

A alternativa c) está correta:
“O Teorema Fundamental do Cálculo estabelece que, se $ f $ é contínua, a integral definida de $ f $ de $ a $ até $ b $ é dada pela diferença entre as antiderivadas de $ f $ avaliadas em $ b $ e $ a $.”

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