Utilizando os testes de convergência, analise a convergência (ou divergência) das seguintes séries:
Passo 1
O enunciado pede para analisar a convergência da série . O tema aqui é séries infinitas, em particular a convergência absoluta e testes como o teste da razão e o reconhecimento de séries geométricas.
Passo 2
Para investigar a convergência absoluta, consideramos os termos em módulo . Aplicando o teste da razão, calculamos a constante L:
Como L<1, a série de módulos sumn=0^inftytfrac12^n converge (é uma série geométrica com r=tfrac12). Portanto, a série original converge absolutamente.
Passo 3
Saber que a série converge absolutamente já nos garante que ela converge no sentido usual. Além disso, podemos notar que sumn=0^infty(-1)^n/2^n é uma série geométrica com razão r=-tfrac12, e séries geométricas convergem sempre que |r|<1.
Resposta
A série converge absolutamente e, portanto, converge.