Utilizando os testes de convergência, analise a convergência (ou divergência) das seguintes séries:
sum0 (-1)^n2^n

Passo 1

O enunciado pede para analisar a convergência da série sumn=0^infty(-1)^n2^n. O tema aqui é séries infinitas, em particular a convergência absoluta e testes como o teste da razão e o reconhecimento de séries geométricas.

Passo 2

Para investigar a convergência absoluta, consideramos os termos em módulo l|anr|=12^n. Aplicando o teste da razão, calculamos a constante L:
L=limntoinfty|an+1||an|=limntoinfty1/2^n+11/2^n=12
Como L<1, a série de módulos sumn=0^inftytfrac12^n converge (é uma série geométrica com r=tfrac12). Portanto, a série original converge absolutamente.

Passo 3

Saber que a série converge absolutamente já nos garante que ela converge no sentido usual. Além disso, podemos notar que sumn=0^infty(-1)^n/2^n é uma série geométrica com razão r=-tfrac12, e séries geométricas convergem sempre que |r|<1.

Resposta

A série converge absolutamente e, portanto, converge.

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