(Teorema Fundamental do Cálculo - Parte 1) Considere a função f(x)=x^2. Calcule a integral definida integral0^3 f(x) d x usando a definição do Teorema Fundamental do Cálculo. Em seguida, calcule sua derivada e verifique a relação entre a integral e a derivada.
A integral é:
integral0^3 x^2 d x=[x^33]0^3=3^33-0=9

Passo 1

O enunciado pede para calcular integral0^3x^2dx usando o Teorema Fundamental do Cálculo (Parte 1) e em seguida verificar que a derivada da integral recupera a função integranda. Vamos precisar encontrar um antiderivado de x^2 e usar a relação do teorema.

Passo 2

Para achar a integral definida, primeiro encontramos um antiderivado de f(x)=x^2. Sabemos que um antiderivado é F(x)=tfracx^33. Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, temos:
integral0^3x^2dx=F(3)-F(0)
Calculando: F(3)=tfrac3^33=9 e F(0)=0, logo a integral vale 9.

Passo 3

Agora definimos a função
G(x)=integral0^xt^2dt
Pelo que acabamos de achar, G(x)=tfracx^33. Derivando, obtemos
G'(x)=ddxl(tfracx^33r)=x^2
Percebemos que G'(x)=x^2=f(x), exatamente o que o Teorema Fundamental do Cálculo prevê.

Resposta

A integral definida vale 9 e, ao definir G(x)=integral0^xt^2dt=tfracx^33, temos G'(x)=x^2=f(x), confirmando a relação do teorema.

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