(Teorema Fundamental do Cálculo - Parte 1) Considere a função
. Calcule a integral definida
usando a definição do Teorema Fundamental do Cálculo. Em seguida, calcule sua derivada e verifique a relação entre a integral e a derivada.
A integral é:
Passo 1
O enunciado pede para calcular
usando o Teorema Fundamental do Cálculo (Parte 1) e em seguida verificar que a derivada da integral recupera a função integranda. Vamos precisar encontrar um antiderivado de
e usar a relação do teorema.
Passo 2
Para achar a integral definida, primeiro encontramos um antiderivado de
. Sabemos que um antiderivado é
. Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, temos:
Calculando:
e
, logo a integral vale 9.
Passo 3
Agora definimos a função
Pelo que acabamos de achar,
. Derivando, obtemos
Percebemos que
, exatamente o que o Teorema Fundamental do Cálculo prevê.
Resposta
A integral definida vale 9 e, ao definir
, temos
, confirmando a relação do teorema.