1. Existem f, g: R R deriváveis tais que f(0)=g(0)=0 e f(x) g(x)=x para todo x in R ? Justifique.

Passo 1

O enunciado pergunta se existem funções deriváveis f,g:RtoR tais que
f(0)=g(0)=0 e f(x),g(x)=x forall xinR
O conteúdo que vamos usar é a regra do produto para derivadas e a ideia de avaliar essa identidade numa dada ponto para buscar uma contradição.

Passo 2

Derivando a identidade f(x),g(x)=x pelo teorema da derivada do produto, obtemos para todo x:
f'(x),g(x)+f(x),g'(x)=1

Passo 3

Agora avaliamos essa igualdade em x=0. Isso dá
f'(0),g(0)+f(0),g'(0)=1
Mas pelas hipóteses temos f(0)=0 e g(0)=0, logo o lado esquerdo vale
f'(0)cdot0 + 0cdot g'(0)=0,
o que implicaria 0=1, absurdo.

Resposta

Não existem tais funções f e g.

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