- Existem
deriváveis tais que
e
para todo
? Justifique.
Passo 1
O enunciado pergunta se existem funções deriváveis
tais que
O conteúdo que vamos usar é a regra do produto para derivadas e a ideia de avaliar essa identidade numa dada ponto para buscar uma contradição.
Passo 2
Derivando a identidade
pelo teorema da derivada do produto, obtemos para todo
:
Passo 3
Agora avaliamos essa igualdade em
. Isso dá
Mas pelas hipóteses temos
e
, logo o lado esquerdo vale
o que implicaria
, absurdo.
Resposta
Não existem tais funções
e
.