O Teorema de Green é uma ferramenta poderosa para calcular fluxos e áreas, sendo aplicável em problemas como modelagem de transporte de materiais ou análise de fluxos em processos produtivos.
Considere uma região
no plano xy, delimitada por uma curva fechada C, representando a seção transversal de um canal por onde circula um fluido utilizado em uma etapa de resfriamento de um processo produtivo. A curva
é parametrizada pela equação:
O campo vetorial que descreve a velocidade do fluido é dado por:
© Verifique se o campo vetorial
é conservativo dentro da região R. Justifique.
O Teorema de Green afirma que, para um campo vetorial
suave em uma região R com bordo C ,
onde
é o vetor tangente à curva C , e ds é o comprimento de arco.
Considere uma região
O Teorema de Green afirma que, para um campo vetorial
Passo 1
Temos uma região R no plano xy delimitada por uma curva fechada simples (uma elipse) e o campo vetorial
. Vamos verificar se
é conservativo em R, ou seja, se existe uma função potencial
tal que
. Para isso precisamos usar o critério de igualdade das derivadas parciais em uma região simplesmente conexa.
Passo 2
Para um campo de duas componentes em uma região simplesmente conexa,
é conservativo se e somente se
Calculamos cada derivada:
Passo 3
Como
temos
E como
Passo 4
Observamos que em geral
e essas expressões só seriam iguais se
Passo 5
Como a região R (interior de uma elipse) é simplesmente conexa e a condição
não vale, concluímos que
não é conservativo em R.
Resposta
O campo vetorial não é conservativo em R, pois
difere de
.