O Teorema de Green é uma ferramenta poderosa para calcular fluxos e áreas, sendo aplicável em problemas como modelagem de transporte de materiais ou análise de fluxos em processos produtivos.
Considere uma região R no plano xy, delimitada por uma curva fechada C, representando a seção transversal de um canal por onde circula um fluido utilizado em uma etapa de resfriamento de um processo produtivo. A curva C é parametrizada pela equação:
C:l x(t)=3 cos (t), y(t)=2 sin (t), t in[0,2 pi]
O campo vetorial que descreve a velocidade do fluido é dado por:
F(x, y)=(-y^2, x^2)
© Verifique se o campo vetorial F(x, y) é conservativo dentro da região R. Justifique.
O Teorema de Green afirma que, para um campo vetorial F(x, y)=(P(x, y), Q(x, y)) suave em uma região R com bordo C ,
ointC F cdot T d s=integral duplaR(partial Qpartial x-partial Ppartial y) d A
onde T é o vetor tangente à curva C , e ds é o comprimento de arco.

Passo 1

Temos uma região R no plano xy delimitada por uma curva fechada simples (uma elipse) e o campo vetorial F(x,y)=l(P(x,y),Q(x,y)r)=(-y^2,,x^2). Vamos verificar se F é conservativo em R, ou seja, se existe uma função potencial phi(x,y) tal que nablaphi= F. Para isso precisamos usar o critério de igualdade das derivadas parciais em uma região simplesmente conexa.

Passo 2

Para um campo de duas componentes em uma região simplesmente conexa, F é conservativo se e somente se
partial Ppartial y(x,y)=partial Qpartial x(x,y)
Calculamos cada derivada:

Passo 3

Como P(x,y)=-y^2 temos
partial Ppartial y(x,y)=partialpartial y(-y^2)=-2y
E como Q(x,y)=x^2 temos
partial Qpartial x(x,y)=partialpartial x(x^2)=2x

Passo 4

Observamos que em geral
partial Ppartial y=-2yepartial Qpartial x=2x
e essas expressões só seriam iguais se -2y=2x para todos (x,y) em R, o que não acontece. Portanto, a condição de campo conservativo falha.

Passo 5

Como a região R (interior de uma elipse) é simplesmente conexa e a condição partial P/partial y=partial Q/partial x não vale, concluímos que F não é conservativo em R.

Resposta

O campo vetorial não é conservativo em R, pois partial P/partial y=-2y difere de partial Q/partial x=2x.

Exercícios relacionados