(a)
. Res:
.
(b)
. Res:
.
(b)
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos duas funções definidas em intervalos específicos e queremos representá-las usando séries de Fourier. Isso envolve decompor funções periódicas em somas de senos e cossenos. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular os coeficientes de Fourier para funções definidas por partes.
Passo 2
Vamos começar com a parte (a). A função dada é:
Essa é uma função periódica com período $ T = 2 $. Para encontrar a série de Fourier, vamos usar a fórmula para funções periódicas ímpares, já que nossa função é ímpar em relação à origem (simétrica em torno do ponto $ x = 0 $).
Passo 3
Os coeficientes de Fourier para uma função ímpar são apenas os coeficientes de seno. A série de Fourier para uma função ímpar é dada por:
onde $ L $ é a metade do período ($ L = 1 $ neste caso) e os coeficientes $ b_n $ são calculados por:
Passo 4
Substituindo os valores para nossa função:
Simplificando:
Sabemos que $ \sin(-\theta) = -\sin(\theta) $, então:
Passo 5
Calculando a integral:
Passo 6
Sabemos que $ \cos(n\pi) = (-1)^n $, então:
Isso significa que para números pares de $ n $, $ b_n = 0 $, e para números ímpares:
Passo 7
Portanto, a série de Fourier para a função dada é:
Resposta
A série de Fourier para a função $ f(x) $ dada na parte (a) é: