(a) f(x)=rr-1, & -1 <= x<0, 1, & 0 <= x<1 ;. Res: f(x)=4pi sumn=1^infty sin [(2 n-1) pi x]2 n-1.
(b) f(x)=1-x^2 -1 <= x<1. Res: f(x)=23+4pi^2 sumn=1^infty (-1)^n+1n^2 cos [n pi x].

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos duas funções definidas em intervalos específicos e queremos representá-las usando séries de Fourier. Isso envolve decompor funções periódicas em somas de senos e cossenos. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular os coeficientes de Fourier para funções definidas por partes.

Passo 2

Vamos começar com a parte (a). A função dada é:
f(x) = -1, & -1 <= x < 0, 1, & 0 <= x < 1
Essa é uma função periódica com período $ T = 2 $. Para encontrar a série de Fourier, vamos usar a fórmula para funções periódicas ímpares, já que nossa função é ímpar em relação à origem (simétrica em torno do ponto $ x = 0 $).

Passo 3

Os coeficientes de Fourier para uma função ímpar são apenas os coeficientes de seno. A série de Fourier para uma função ímpar é dada por:
f(x) = sumn=1^infty bn sin(npi xL),
onde $ L $ é a metade do período ($ L = 1 $ neste caso) e os coeficientes $ b_n $ são calculados por:
L

Passo 4

Substituindo os valores para nossa função:
bn = 22 ( integral0^1 1 cdot sin(npi x) dx + integral-1^0 (-1) cdot sin(npi x) dx )
Simplificando:
bn = integral0^1 sin(npi x) dx - integral0^1 sin(-npi x) dx
Sabemos que $ \sin(-\theta) = -\sin(\theta) $, então:
sin(-theta) = -sin(theta)

Passo 5

Calculando a integral:
bn = 2 [ -cos(npi x)npi ]0^1 = 2 ( -cos(npi)npi + 1npi ) = 2npi (1 - cos(npi))

Passo 6

Sabemos que $ \cos(n\pi) = (-1)^n $, então:
cos(npi) = (-1)^n
Isso significa que para números pares de $ n $, $ b_n = 0 $, e para números ímpares:
bn = 2npi (1 - (-1)^n)

Passo 7

Portanto, a série de Fourier para a função dada é:
f(x) = 4pi sumn=1^infty sin[(2n-1)pi x]2n-1

Resposta

A série de Fourier para a função $ f(x) $ dada na parte (a) é:
f(x)

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