(a) Encontre a temperatura
. Res:
.
(b) Qual é a temperatura do estado estacionário quando
? Res:
.
(b) Qual é a temperatura do estado estacionário quando
Passo 1
A gente tem aqui o problema unidimensional de condução de calor governado por
numa barra de comprimento
, com condições de contorno isolantes (Neumann homogênea) em
e
e uma condição inicial
. Para resolver precisamos usar separação de variáveis e expandir a condição inicial em série de Fourier.
Passo 2
Assumimos a forma separável
. Substituindo na equação do calor obtemos
As condições de contorno em
são
.
Passo 3
A equação espacial é
com
. Dessas condições surgem os autovalores
e as autofunções
Passo 4
A equação temporal é
cuja solução é
Logo a solução geral fica
Passo 5
Os coeficientes
e
vêm da projeção da condição inicial
usando ortogonalidade:
Fazendo a integral (dependendo de
), chega-se a
Passo 6
Substituindo os
na solução geral, obtemos
Para o estado estacionário, basta tomar
, quando todos os termos exponenciais vão a zero e sobra apenas
.
Resposta
(a)
(b)
(b)