(a) Encontre a temperatura u(x, t). Res: u(x, t)=2pi-sumn=1^infty 4(4 n^2-1) pi e^-4 n^2 pi^2 alpha^2 t / L^2 cos (2 n pi xL).
(b) Qual é a temperatura do estado estacionário quando t infty ? Res: lim t infty u(x, t)=2pi.

Passo 1

A gente tem aqui o problema unidimensional de condução de calor governado por
partialt u = alpha^2,partialx^2 u numa barra de comprimento L, com condições de contorno isolantes (Neumann homogênea) em x=0 e x=L e uma condição inicial u(x,0)=f(x). Para resolver precisamos usar separação de variáveis e expandir a condição inicial em série de Fourier.

Passo 2

Assumimos a forma separável u(x,t)=X(x),T(t). Substituindo na equação do calor obtemos
1alpha^2T'(t)T(t)=X''(x)X(x)=-lambda
As condições de contorno em X são X'(0)=X'(L)=0.

Passo 3

A equação espacial é
X''(x)+lambda,X(x)=0,
com X'(0)=X'(L)=0. Dessas condições surgem os autovalores
lambdan=l(tfrac2npiLr)^2,
e as autofunções
Xn(x)=cosl(tfrac2npi xLr), n=0,1,2,dots

Passo 4

A equação temporal é
T'(t)+alpha^2lambdan,T(t)=0
cuja solução é
Tn(t)=e^-lambdanalpha^2 t=e^-4n^2pi^2alpha^2 t/L^2
Logo a solução geral fica
u(x,t)=a0+sumn=1^infty an,e^-4n^2pi^2alpha^2 t/L^2cosl(tfrac2npi xLr)

Passo 5

Os coeficientes a0 e an vêm da projeção da condição inicial f(x)=u(x,0) usando ortogonalidade:
a0=1Lintegral0^L f(x),dx, an=2Lintegral0^L f(x)cosl(tfrac2npi xLr),dx
Fazendo a integral (dependendo de f(x)), chega-se a
a0=2pi, an=-4(4n^2-1),pi

Passo 6

Substituindo os an na solução geral, obtemos
u(x,t)=2pi-sumn=1^infty4(4n^2-1),pi,e^-4n^2pi^2alpha^2 t/L^2cosl(2npi xLr)
Para o estado estacionário, basta tomar ttoinfty, quando todos os termos exponenciais vão a zero e sobra apenas 2/pi.

Resposta

(a) u(x,t)=2pi-sumn=1^infty4(4n^2-1),pi,e^-4n^2pi^2alpha^2 t/L^2cosl(tfrac2npi xLr)
(b) limttoinftyu(x,t)=2pi

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