(a) Usando integral indefinida, mostre que o fator integrante para a equação diferencial pode ser escrito como
e que a solução para o problema de valor inicial é
Passo 1
O enunciado apresenta uma equação diferencial linear de primeira ordem
com condição inicial
. Vamos trabalhar com o método do fator integrante para resolver, pois a EDO está na forma padrão
.
Passo 2
Identificamos
e
. O fator integrante é dado por
. Para satisfazer a condição
, escrevemos em forma de integral definida:
Passo 3
Multiplicamos a equação original por
. No lado esquerdo obtemos
pois
. Logo a EDO vira
Passo 4
Integramos ambos os lados de 0 até
:
Isso dá
Como
e
, resulta
Passo 5
Isolando
, obtemos a solução do valor inicial:
Isso conclui a demonstração do fator integrante e da solução.