d yd x+raiz1+sen^2 x y=x, y(0)=2
(a) Usando integral indefinida, mostre que o fator integrante para a equação diferencial pode ser escrito como
mu(x)=exp (integral0^x raiz1+sen^2 t d t)
e que a solução para o problema de valor inicial é
y(x)=1mu(x) integral0^x mu(s) s d s+2mu(x)

Passo 1

O enunciado apresenta uma equação diferencial linear de primeira ordem dydx+raiz1+sin^2 x,y = x com condição inicial y(0)=2. Vamos trabalhar com o método do fator integrante para resolver, pois a EDO está na forma padrão dydx+P(x)y=Q(x).

Passo 2

Identificamos P(x)=raiz1+sin^2 x e Q(x)=x. O fator integrante é dado por mu(x)=expl(integral P(x),dxr). Para satisfazer a condição mu(0)=1, escrevemos em forma de integral definida:
mu(x)=expl(integral0^xraiz1+sin^2 t,dtr)

Passo 3

Multiplicamos a equação original por mu(x). No lado esquerdo obtemos
mu(x)dydx+mu(x)raiz1+sin^2 x,y = ddxl[mu(x)yr],
pois dmudx=P(x)mu(x). Logo a EDO vira
ddxl[mu(x)yr] = mu(x),x

Passo 4

Integramos ambos os lados de 0 até x:
integral0^xdds[mu(s)y(s)],ds = integral0^xmu(s),s,ds
Isso dá
mu(x)y(x)-mu(0)y(0) = integral0^xmu(s)s,ds
Como mu(0)=1 e y(0)=2, resulta
mu(x)y(x) = integral0^xmu(s)s,ds + 2

Passo 5

Isolando y(x), obtemos a solução do valor inicial:
y(x)=1mu(x)integral0^xmu(s)s,ds + 2mu(x)
Isso conclui a demonstração do fator integrante e da solução.

Resposta

mu(x)=expl(integral0^xraiz1+sin^2 t,dtr), y(x)=1mu(x)integral0^xmu(s)s,ds + 2mu(x)

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