(a) y^prime prime+lambda y=0, y(0)=0, y^prime(pi)=0 Res: lambdan=[2 n-12]^2 e yn(x)=sin [(2 n-1) x2] com n=1,2,3, ldots
(b) y^prime prime+lambda y=0, y^prime(0)=0, y(pi)=0 Res: lambdan=[2 n-12]^2 e yn(x)=cos [(2 n-1) x2] com n=1,2,3, ldots
© y^prime prime+lambda y=0, y^prime(0)=0, y^prime(pi)=0 Res: lambda0=0 com y0=1 ; lambdan=n^2 e yn(x)=cos (n x) com n=1,2,3, ldots
(d) y^prime prime+lambda y=0, y^prime(0)=0, y(L)=0 Res: lambdan=[(2 n-1) pi2 L]^2 e yn(x)=cos [(2 n-1) pi x2 L] com n=1,2,3, ldots.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente precisa resolver aqui! Temos uma equação diferencial do tipo $ y’’ + \lambda y = 0 $ com algumas condições de fronteira: $ y(0) = 0 $ e $ y’(\pi) = 0 $. Nosso objetivo é encontrar os valores de $ \lambda $ que fazem essa equação ter soluções não-triviais (chamados de valores próprios) e as correspondentes funções $ y(x) $. Para isso, vamos usar conhecimentos de equações diferenciais e condições de contorno.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação diferencial homogênea $ y’’ + \lambda y = 0 $. Dependendo do sinal de $ \lambda $, a solução geral muda.
  • Caso 1: Se $ \lambda > 0 $, podemos escrever $ \lambda = \omega^2 $, onde $ \omega $ é positiva. A solução geral fica:
    y'' + lambda y = 0
  • Caso 2: Se $ \lambda = 0 $, a equação se torna $ y’’ = 0 $, cuja solução geral é:
    lambda
  • Caso 3: Se $ \lambda < 0 $, escrevemos $ \lambda = -\mu^2 $, com $ \mu > 0 $. A solução geral é:
    lambda > 0
Para este problema, estamos procurando soluções não-triviais, então vamos focar no caso $ \lambda > 0 $.

Passo 3

Assumindo que $ \lambda = \omega^2 $, a solução geral é:
lambda = omega^2
Agora, aplicamos as condições de contorno para encontrar $ A $, $ B $ e $ \omega $ (que está relacionado a $ \lambda $).
Primeira condição de contorno: $ y(0) = 0 $.
y(x) = A cos(omega x) + B sin(omega x)
Então, $ A = 0 $. A solução simplifica para:
A

Passo 4

Agora, aplicamos a segunda condição de contorno: $ y’(\pi) = 0 $.
Primeiro, derivamos $ y(x) $:
y'(pi) = 0
Então,
y(x)
Para que isso seja igual a zero, temos duas possibilidades:
  1. $ B = 0 $: Mas isso daria a solução trivial $ y(x) = 0 $, que não queremos.
  2. $ \cos(\omega \pi) = 0 $: Isso acontece quando $ \omega \pi = \frac{\pi}{2} + n\pi $, onde $ n $ é inteiro.
Portanto,
y'(x) = B omega cos(omega x)
Onde $ n = 1, 2, 3, ··· $

Passo 5

Lembrando que $ \lambda = \omega^2 $, substituímos $ \omega $ encontrado:
lambda = omega^2
E a função $ y(x) $ fica:
omega
Como $ B $ é uma constante arbitrária, podemos absorvê-la na função, geralmente considerando $ B = 1 $ para simplificar.

Resposta

A solução geral é para cada $ n = 1, 2, 3, ··· $:
n = 1, 2, 3, ldots

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