(a)
Res:
e
com
(b)
Res:
e
©
Res:
com
e
com
(d)
Res:
e
com
.
(b)
©
(d)
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente precisa resolver aqui! Temos uma equação diferencial do tipo $ y’’ + \lambda y = 0 $ com algumas condições de fronteira: $ y(0) = 0 $ e $ y’(\pi) = 0 $. Nosso objetivo é encontrar os valores de $ \lambda $ que fazem essa equação ter soluções não-triviais (chamados de valores próprios) e as correspondentes funções $ y(x) $. Para isso, vamos usar conhecimentos de equações diferenciais e condições de contorno.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação diferencial homogênea $ y’’ + \lambda y = 0 $. Dependendo do sinal de $ \lambda $, a solução geral muda.
-
Caso 1: Se $ \lambda > 0 $, podemos escrever $ \lambda = \omega^2 $, onde $ \omega $ é positiva. A solução geral fica:
-
Caso 2: Se $ \lambda = 0 $, a equação se torna $ y’’ = 0 $, cuja solução geral é:
-
Caso 3: Se $ \lambda < 0 $, escrevemos $ \lambda = -\mu^2 $, com $ \mu > 0 $. A solução geral é:
Para este problema, estamos procurando soluções não-triviais, então vamos focar no caso $ \lambda > 0 $.
Passo 3
Assumindo que $ \lambda = \omega^2 $, a solução geral é:
Agora, aplicamos as condições de contorno para encontrar $ A $, $ B $ e $ \omega $ (que está relacionado a $ \lambda $).
Primeira condição de contorno: $ y(0) = 0 $.
Então, $ A = 0 $. A solução simplifica para:
Passo 4
Agora, aplicamos a segunda condição de contorno: $ y’(\pi) = 0 $.
Primeiro, derivamos $ y(x) $:
Então,
Para que isso seja igual a zero, temos duas possibilidades:
- $ B = 0 $: Mas isso daria a solução trivial $ y(x) = 0 $, que não queremos.
- $ \cos(\omega \pi) = 0 $: Isso acontece quando $ \omega \pi = \frac{\pi}{2} + n\pi $, onde $ n $ é inteiro.
Portanto,
Onde $ n = 1, 2, 3, ··· $
Passo 5
Lembrando que $ \lambda = \omega^2 $, substituímos $ \omega $ encontrado:
E a função $ y(x) $ fica:
Como $ B $ é uma constante arbitrária, podemos absorvê-la na função, geralmente considerando $ B = 1 $ para simplificar.
Resposta
A solução geral é para cada $ n = 1, 2, 3, ··· $: