(a) Encontre a solução
desta equação na faixa semi-infinita
que satisfaz as seguintes condições de contorno:
(b) Determine os coeficientes
supondo
Res:
Passo 1
Na questão, temos a equação de Laplace
na faixa semi-infinita
. As condições de contorno são
,
,
e
quando
. O conteúdo principal é separação de variáveis e séries de Fourier senoidais.
Passo 2
Assumindo
e aplicando separação de variáveis, obtemos
e
. Impondo
, as autofunções são
com
e
. Portanto a solução geral satisfazendo as condições homogêneas em
é
Passo 3
Para satisfazer
, expandimos
em série de Fourier senoidal no intervalo
. Usando a ortogonalidade das funções
, os coeficientes são
Passo 4
Para
calculamos o integral:
Resolvendo por partes (dividindo em duas parcelas que se cancelam em parte e fica um termo proporcional a
), obtemos
Passo 5
Substituindo de volta no coeficiente, vem
Resposta
c_n=\frac{4a2}{n3\pi3}\bigl(1-(-1)n\bigr)