ux x+uy y=0
(a) Encontre a solução u(x, y) desta equação na faixa semi-infinita 00 que satisfaz as seguintes condições de contorno:
lc u(0, y)=0, u(a, y)=0, & y>0 u(x, 0)=f(x), & 0 <= x <= a
e a condição adicional de que u(x, y) 0 quando y infty Res: u(x, y)=sumn=1^infty cn e^-n pi y / a sin (n pi xa) çã com cn=2a integral0^a f(x) sin (n pi xa) d x
(b) Determine os coeficientes cn supondo f(x)=x(a-x) Res: cn=4 a^2n^3 pi^3(1-(-1)^n)

Passo 1

Na questão, temos a equação de Laplace uxx+uyy=0 na faixa semi-infinita 00. As condições de contorno são u(0,y)=0, u(a,y)=0, u(x,0)=f(x) e u(x,y)to0 quando ytoinfty. O conteúdo principal é separação de variáveis e séries de Fourier senoidais.

Passo 2

Assumindo u(x,y)=X(x)Y(y) e aplicando separação de variáveis, obtemos X''+lambda X=0 e Y''-lambda Y=0. Impondo X(0)=X(a)=0, as autofunções são sin(npi x/a) com lambdan=(npi/a)^2 e Yn(y)=e^-npi y/a. Portanto a solução geral satisfazendo as condições homogêneas em x=0,a é
u(x,y)=sumn=1^infty cn e^-npi y/asinl(tfracnpi xar)

Passo 3

Para satisfazer u(x,0)=f(x), expandimos f(x) em série de Fourier senoidal no intervalo [0,a]. Usando a ortogonalidade das funções sin(npi x/a), os coeficientes são
cn=2aintegral0^a f(x)sinl(tfracnpi xar),dx

Passo 4

Para f(x)=x(a-x) calculamos o integral:
cn=2aintegral0^a l(ax-x^2r)sinl(tfracnpi xar),dx
Resolvendo por partes (dividindo em duas parcelas que se cancelam em parte e fica um termo proporcional a (1-(-1)^n)/(n^3pi^3)), obtemos
integral0^a l(ax-x^2r)sinl(tfracnpi xar),dx=2a^3n^3pi^3l(1-(-1)^nr)

Passo 5

Substituindo de volta no coeficiente, vem
cn=2acdot2a^3n^3pi^3l(1-(-1)^nr)=4a^2n^3pi^3l(1-(-1)^nr)

Resposta

c_n=\frac{4a2}{n3\pi3}\bigl(1-(-1)n\bigr)

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