) Teorema de Green. Mostre que:
i. Se
, mostre que
dá a área da região delimitada pela curva fechada simples
;
ii. Calcule a área do hipocicloide
.
i. Se
ii. Calcule a área do hipocicloide
Passo 1
O enunciado dá duas tarefas:
- Seja
e uma curva fechada simples que delimita uma região . Pede-se mostrar que
é igual à área da região
limitada por
.
- Calcular a área da curva dada por
Informações relevantes que o enunciado fornece:
A curva
é fechada e simples (ou seja, delimita uma região
bem definida). No item (ii) temos a equação implícita da curva cujo parâmetro
é dado.
A partir daqui vamos provar a igualdade do item (i) usando o Teorema de Green e, em (ii), usar a parametração apropriada da curva e o resultado de (i) (ou a fórmula equivalente para área via integral de linha) para calcular a área da astroide.
Passo 2
Apresentando o Teorema de Green (forma que usaremos): se
é uma curva simples, fechada e orientada positivamente (no sentido anti-horário) que limita a região
, e
,
têm derivadas parciais contínuas em uma vizinhança de
, então
Aqui
é a área elementar e a orientação positiva é necessária para que o teorema valha com o sinal mostrado.
Agora identificamos
e
a partir de
. Como
com
aplicamos o Teorema de Green. Calculamos as derivadas parciais:
Portanto
Pelo Teorema de Green,
Conclusão do item (i): para a orientação positiva de
,
é exatamente a área da região
delimitada por
. (Se
estivesse orientada no sentido horário, o valor seria o negativo da área; por isso a orientação positiva é importante.)
Passo 3
Vamos calcular a área da curva do item (ii). A curva dada por
é a astroide (um caso de hipocicloide de quatro pontas). Uma parametrização clássica e conveniente é
Mostro que esta parametrização satisfaz a equação da curva:
logo
como desejado. A parametrização percorre a curva uma vez quando
vai de
a
e é orientada no sentido anti-horário (positiva).
Passo 4
Usamos a fórmula para a área em termos de integral de linha (que é equivalente ao resultado do item (i)):
pois
.
Com a parametrização
, calculamos
e
:
Passo 5
Agora montamos o integrando
. Substituindo
obtém-se:
Fatorando
:
Logo
Portanto a área é
Passo 6
Simplificamos a integral trigonométrica. Usamos a identidade
assim
Substituindo:
Para calcular
usamos
com
:
pois
.
Portanto