2 (OBM 2003) A média de cinco inteiros positivos diferentes é 11. Determine o maior valor possível para o maior dos cinco inteiros.

Passo 1

O enunciado diz que temos cinco inteiros positivos diferentes e que a média aritmética deles é 11. Pergunta: qual é o maior valor possível para o maior dos cinco inteiros? Informações relevantes que recebemos:
  • Os cinco números são inteiros positivos e todos distintos.
  • A média é 11, logo a soma dos cinco números é 5\cdot 11=55.
  • Queremos maximizar o maior elemento, sujeito às condições acima.

Passo 2

Transformando média em soma: a média aritmética de n números é a soma dividida por n. Aqui n=5, então a soma total dos cinco inteiros é
5\cdot 11 = 55.
Vou chamar o maior inteiro de M e os outros quatro inteiros distintos e positivos de a_1,a_2,a_3,a_4. Assim
a_1+a_2+a_3+a_4+M = 55.

Passo 3

Estratégia para maximizar M: como a soma total é fixa em 55, para que M seja o maior possível precisamos que a soma a_1+a_2+a_3+a_4 dos quatro outros seja a menor possível, obedecendo as restrições (inteiros positivos e todos distintos entre si e de M). Ou seja, minimizar a soma dos quatro menores aumenta M.

Passo 4

Encontrando a soma mínima possível dos quatro outros, sob as restrições:
  • O menor inteiro positivo possível é 1, logo a_1\ge 1.
  • Como todos são distintos e inteiros, o próximo depois de a_1 deve ser pelo menos a_1+1. Tomando a_1=1 (para minimizar soma) temos a_2\ge 2.
  • Seguindo, a_3\ge a_2+1\ge 3 e a_4\ge a_3+1\ge 4.
    Portanto a menor soma possível dos quatro inteiros distintos positivos é
1+2+3+4 = 10.
Isso é obtido escolhendo exatamente a_1=1,\;a_2=2,\;a_3=3,\;a_4=4.

Passo 5

Com essa soma mínima para os quatro menores, calculamos M máximo:
M = 55 - (1+2+3+4) = 55 - 10 = 45.
Verificação rápida: os cinco números 1,2,3,4,45 são todos inteiros positivos diferentes e têm soma 55, logo média 11. Não é possível obter M maior que 45 porque isso exigiria que a soma dos outros quatro fosse menor que 10, o que contradiz a desigualdade anterior.

Passo 6

Conclusão: o maior valor possível para o maior dos cinco inteiros é 45.

Resposta

45

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