2 (OBM 2003) A média de cinco inteiros positivos diferentes é 11. Determine o maior valor possível para o maior dos cinco inteiros.
Passo 1
O enunciado diz que temos cinco inteiros positivos diferentes e que a média aritmética deles é
. Pergunta: qual é o maior valor possível para o maior dos cinco inteiros? Informações relevantes que recebemos:
- Os cinco números são inteiros positivos e todos distintos.
- A média é
, logo a soma dos cinco números é . - Queremos maximizar o maior elemento, sujeito às condições acima.
Passo 2
Transformando média em soma: a média aritmética de
números é a soma dividida por
. Aqui
, então a soma total dos cinco inteiros é
Vou chamar o maior inteiro de
e os outros quatro inteiros distintos e positivos de
. Assim
Passo 3
Estratégia para maximizar
: como a soma total é fixa em
, para que
seja o maior possível precisamos que a soma
dos quatro outros seja a menor possível, obedecendo as restrições (inteiros positivos e todos distintos entre si e de
). Ou seja, minimizar a soma dos quatro menores aumenta
.
Passo 4
Encontrando a soma mínima possível dos quatro outros, sob as restrições:
- O menor inteiro positivo possível é
, logo . - Como todos são distintos e inteiros, o próximo depois de
deve ser pelo menos . Tomando (para minimizar soma) temos . - Seguindo,
e .
Portanto a menor soma possível dos quatro inteiros distintos positivos é
Isso é obtido escolhendo exatamente
.
Passo 5
Com essa soma mínima para os quatro menores, calculamos
máximo:
Verificação rápida: os cinco números
são todos inteiros positivos diferentes e têm soma
, logo média
. Não é possível obter
maior que
porque isso exigiria que a soma dos outros quatro fosse menor que
, o que contradiz a desigualdade anterior.
Passo 6
Conclusão: o maior valor possível para o maior dos cinco inteiros é
.