Teorema I: O Princípio Fundamental da Hidrostática. Nosso objetivo: provar que a conhecida lei da hidrostática está "escondida"dentro da Equação de Euler.
Vamos começar com o caso mais simples: um fluido em total repouso. i. Se o fluido não se move, qual é o valor do seu vetor velocidade
\vec{v} ? ii. Baseado nisso, o que acontece com os dois termos de aceleração (local e convectiva) na Equação de Euler?
iii. Escreva a forma extremamente simplificada da equação que resta. Ela deve relacionar apenas a pressão e a gravidade.
(a)
Sua equação simplificada deve ser 0=-\nabla p+\rho \vec{g}.

Passo 1

O enunciado pede três coisas claras:
i. Se o fluido está em repouso, qual é o valor do vetor velocidade \vec{v}?
ii. Com isso, o que acontece com os dois termos de aceleração que aparecem na Equação de Euler (a aceleração local e a aceleração convectiva)?
iii. Escrever a forma extremamente simplificada da equação restante, envolvendo somente a pressão e a gravidade — a forma que devemos obter é \,0 = -\nabla p + \rho \vec{g}.
Informações relevantes dadas (implícitas no enunciado): o fluido está em total repouso; a Equação de Euler para um fluido invíscido e com força de corpo dada pela gravidade é a equação de partida.

Passo 2

Resposta da parte (i): o que significa “fluido em total repouso”? Significa que cada partícula do fluido não se desloca com o tempo. Em linguagem de campo de velocidade, isso se escreve como
\vec{v} = \vec{0}.
Explicação rápida: \vec{v} é a função que dá a velocidade de cada ponto do fluido; “repouso” implica que essa função vale o vetor nulo em todo ponto e em todo instante.

Passo 3

Apresentar a Equação de Euler completa e entender os termos de aceleração. A Equação de Euler (para fluido incompressível ou compressível, sem viscosidade e sujeita a força de corpo \rho\vec{g}) pode ser escrita como
\rho \frac{D\vec{v}}{Dt} = -\nabla p + \rho \vec{g}.
Aqui devo explicar cada símbolo e termo:
  • \rho é a densidade do fluido (massa por volume) no ponto considerado; pode depender de posição e tempo.
  • p é a pressão do fluido; \nabla p é o gradiente de pressão — é um vetor que aponta na direção de máxima variação de pressão e cujo módulo é a taxa de variação espacial da pressão.
  • \vec{g} é o campo de aceleração da gravidade (vetor, por exemplo \vec{g}=-g\hat{k} na direção vertical para baixo).
  • \dfrac{D\vec{v}}{Dt} é a derivada material (ou derivada convectiva) da velocidade, isto é, a aceleração de uma partícula de fluido que se move. Ela contém dois termos:
\frac{D\vec{v}}{Dt} = \frac{\partial \vec{v}}{\partial t} + (\vec{v}\cdot\nabla)\vec{v}.
Explicação dos dois termos:
  • \dfrac{\partial \vec{v}}{\partial t} é a aceleração local: variação da velocidade em um ponto fixo no espaço ao longo do tempo.
  • (\vec{v}\cdot\nabla)\vec{v} é a aceleração convectiva: mudança de velocidade que um fluido experimenta porque a partícula se desloca para regiões onde a velocidade espacialmente difere.

Passo 4

Aplicar \vec{v}=\vec{0} à derivada material e ver o que ocorre (parte ii do enunciado). Substituindo \vec{v}=\vec{0} temos:
\frac{\partial \vec{v}}{\partial t} = \frac{\partial \vec{0}}{\partial t} = \vec{0},
e
(\vec{v}\cdot\nabla)\vec{v} = (\vec{0}\cdot\nabla)\vec{0} = \vec{0}.
Portanto
\frac{D\vec{v}}{Dt} = \vec{0}.
Interpretando: sem movimento não há aceleração local nem convectiva — a aceleração total é zero.

Passo 5

Substituir o resultado do passo anterior na Equação de Euler e obter a equação simplificada (parte iii do enunciado). A equação inicial era
\rho \frac{D\vec{v}}{Dt} = -\nabla p + \rho \vec{g}.
Como \dfrac{D\vec{v}}{Dt}=\vec{0}, o lado esquerdo fica \rho\vec{0}=\vec{0}. Assim sobra
\vec{0} = -\nabla p + \rho \vec{g}.
Interpretação física curta: o gradiente de pressão \nabla p equilibra exatamente a força peso volumétrica \rho\vec{g}; isso é a lei da hidrostática.

Passo 6

Comentário adicional e versão escalar (opcional para entendimento): se escolhermos o eixo vertical z apontando para cima e \vec{g}=-g\hat{k} com g>0, então a componente vertical da equação dá
0 = -\frac{\partial p}{\partial z} - \rho g,
ou equivalentemente
\frac{\partial p}{\partial z} = -\rho g,
que é a forma usual da lei que diz que a pressão aumenta com a profundidade. Este passo é só para fixar a intuição; a forma vetorial pedida já foi obtida.

Resposta

0 = -\nabla p + \rho \vec{g}

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