Teorema I: O Princípio Fundamental da Hidrostática. Nosso objetivo: provar que a conhecida lei da hidrostática está "escondida"dentro da Equação de Euler.
Vamos começar com o caso mais simples: um fluido em total repouso. i. Se o fluido não se move, qual é o valor do seu vetor velocidade
? ii. Baseado nisso, o que acontece com os dois termos de aceleração (local e convectiva) na Equação de Euler?
iii. Escreva a forma extremamente simplificada da equação que resta. Ela deve relacionar apenas a pressão e a gravidade.
(a)
Sua equação simplificada deve ser
.
iii. Escreva a forma extremamente simplificada da equação que resta. Ela deve relacionar apenas a pressão e a gravidade.
(a)
Passo 1
O enunciado pede três coisas claras:
i. Se o fluido está em repouso, qual é o valor do vetor velocidade ?
ii. Com isso, o que acontece com os dois termos de aceleração que aparecem na Equação de Euler (a aceleração local e a aceleração convectiva)?
iii. Escrever a forma extremamente simplificada da equação restante, envolvendo somente a pressão e a gravidade — a forma que devemos obter é .
Informações relevantes dadas (implícitas no enunciado): o fluido está em total repouso; a Equação de Euler para um fluido invíscido e com força de corpo dada pela gravidade é a equação de partida.
i. Se o fluido está em repouso, qual é o valor do vetor velocidade
ii. Com isso, o que acontece com os dois termos de aceleração que aparecem na Equação de Euler (a aceleração local e a aceleração convectiva)?
iii. Escrever a forma extremamente simplificada da equação restante, envolvendo somente a pressão e a gravidade — a forma que devemos obter é
Informações relevantes dadas (implícitas no enunciado): o fluido está em total repouso; a Equação de Euler para um fluido invíscido e com força de corpo dada pela gravidade é a equação de partida.
Passo 2
Resposta da parte (i): o que significa “fluido em total repouso”? Significa que cada partícula do fluido não se desloca com o tempo. Em linguagem de campo de velocidade, isso se escreve como
Explicação rápida:
é a função que dá a velocidade de cada ponto do fluido; “repouso” implica que essa função vale o vetor nulo em todo ponto e em todo instante.
Passo 3
Apresentar a Equação de Euler completa e entender os termos de aceleração. A Equação de Euler (para fluido incompressível ou compressível, sem viscosidade e sujeita a força de corpo
) pode ser escrita como
Aqui devo explicar cada símbolo e termo:
-
é a densidade do fluido (massa por volume) no ponto considerado; pode depender de posição e tempo. -
é a pressão do fluido; é o gradiente de pressão — é um vetor que aponta na direção de máxima variação de pressão e cujo módulo é a taxa de variação espacial da pressão. -
é o campo de aceleração da gravidade (vetor, por exemplo na direção vertical para baixo). -
é a derivada material (ou derivada convectiva) da velocidade, isto é, a aceleração de uma partícula de fluido que se move. Ela contém dois termos:
Explicação dos dois termos:
-
é a aceleração local: variação da velocidade em um ponto fixo no espaço ao longo do tempo. -
é a aceleração convectiva: mudança de velocidade que um fluido experimenta porque a partícula se desloca para regiões onde a velocidade espacialmente difere.
Passo 4
Aplicar
à derivada material e ver o que ocorre (parte ii do enunciado). Substituindo
temos:
e
Portanto
Interpretando: sem movimento não há aceleração local nem convectiva — a aceleração total é zero.
Passo 5
Substituir o resultado do passo anterior na Equação de Euler e obter a equação simplificada (parte iii do enunciado). A equação inicial era
Como
, o lado esquerdo fica
. Assim sobra
Interpretação física curta: o gradiente de pressão
equilibra exatamente a força peso volumétrica
; isso é a lei da hidrostática.
Passo 6
Comentário adicional e versão escalar (opcional para entendimento): se escolhermos o eixo vertical
apontando para cima e
com
, então a componente vertical da equação dá
ou equivalentemente
que é a forma usual da lei que diz que a pressão aumenta com a profundidade. Este passo é só para fixar a intuição; a forma vetorial pedida já foi obtida.