Questão 2 (valor 2,0) Uma esfera condutora com 10 cm de raio possui uma carga desconhecida. O campo elétrico a 15 cm do centro da esfera tem módulo 2,0 \times 10^{3} \mathrm{~N} / \mathrm{C} e aponta para o centro da esfera.
(a) qual é a carga da esfera?
(b) qual é o potencial elétrico em um ponto a 30 cm do centro da esfera?

Passo 1

Enunciado resumido e dados fornecidos:
  • Uma esfera condutora tem raio 10\\ \text{cm}.
  • A carga da esfera é desconhecida.
  • O campo elétrico a 15\\ \text{cm} do centro da esfera tem módulo 2{,}0\times 10^{3}\\ \mathrm{N/C} e aponta para o centro da esfera.
    Perguntas do enunciado:
    (a) Qual é a carga da esfera?
    (b) Qual é o potencial elétrico em um ponto a 30\\ \text{cm} do centro da esfera?

Passo 2

Conceitos e fórmulas essenciais (explicadinho com calma).
  • Uma esfera condutora carregada, vista do exterior, cria um campo idêntico ao de uma carga pontual Q concentrada no centro. Então, para r fora da esfera, o campo elétrico radial tem a forma
E(r)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{Q}{r^{2}}.
Aqui:
  • \,E(r) é o módulo do campo elétrico no raio r (em \mathrm{N/C});
  • Q é a carga total da esfera (em coulombs, \mathrm{C});
  • r é a distância do centro (em metros, \mathrm{m});
  • \varepsilon_0 é a permissividade do vácuo, \varepsilon_0\approx 8{,}85\times10^{-12}\\ \mathrm{F/m}.
  • É comum usar a constante de Coulomb k definida por
k=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\approx 9{,}0\times10^{9}\\ \mathrm{N\cdot m^{2}/C^{2}}.
  • Observação sobre o sinal: se o campo aponta para o centro (vetor dirigido para dentro), isso significa que as linhas de campo são dirigidas para o centro — característica de carga negativa. Logo Q será negativa.

Passo 3

Isolando Q a partir da fórmula do campo (arrumando para contas mais fáceis).
A partir de
E(r)=k\,\frac{Q}{r^{2}},
temos
Q=\frac{E(r)\,r^{2}}{k}.
Agora vamos usar os valores dados: E=2{,}0\times10^{3}\\ \mathrm{N/C} em r=15\\ \text{cm}=0{,}15\\ \mathrm{m}. Lembre que, pelo passo anterior, o campo apontando para o centro indica Q<0 — portanto aplicaremos o sinal negativo ao final.

Passo 4

Cálculo numérico de Q (conteúdo passo a passo para fazer sem calculadora).
  • Calcule r^{2}:
r^{2}=(0{,}15)^{2}=0{,}0225\\ \mathrm{m^{2}}.
  • Calcule E\,r^{2}:
E\,r^{2}=(2{,}0\times10^{3})\cdot 0{,}0225 = 45{,}0.
(Se quiser pensar mentalmente: 2000\times0{,}0225=2000\times\frac{225}{10000}=2000\times0{,}0225=45.)
  • Divida por k:
Q=\frac{45{,}0}{9{,}0\times10^{9}}=5{,}0\times10^{-9}\\ \mathrm{C}.
  • A direção do campo (para centro) indica carga negativa, então
Q = -5{,}0\times10^{-9}\\ \mathrm{C} \quad (\text{ou } -5{,}0\\ \mathrm{nC}).

Passo 5

Fórmula do potencial e explicação (passo a passo).
  • O potencial elétrico criado por uma carga pontual Q, tomando V(\infty)=0, é
V(r)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{Q}{r}=k\,\frac{Q}{r}.
  • Para uma esfera condutora isolada, o potencial fora é igual ao de uma carga pontual Q no centro; portanto podemos usar a mesma fórmula para r=30\\ \text{cm}.

Passo 6

Cálculo numérico do potencial em r=30\\ \text{cm}.
  • Converta r: 30\\ \text{cm}=0{,}30\\ \mathrm{m}.
  • Use k=9{,}0\times10^{9}\\ \mathrm{N\cdot m^{2}/C^{2}} e Q=-5{,}0\times10^{-9}\\ \mathrm{C}.
  • Calcule kQ:
kQ=(9{,}0\times10^{9})\cdot(-5{,}0\times10^{-9})=-45{,}0.
  • Divida por r:
V(0{,}30)=\frac{-45{,}0}{0{,}30}=-150\\ \mathrm{V}.
Portanto o potencial a 30\\ \text{cm} do centro é -150\\ \mathrm{V} (referência V(\infty)=0).

Passo 7

Recapitulando de forma curtinha (para gravar na cabeça antes da prova):
  • Use E(r)=kQ/r^{2} para achar Q fora da esfera condutora.
  • O sentido do campo diz o sinal de Q.
  • Use V(r)=kQ/r para obter o potencial relativo ao infinito.

Resposta

Q=-5{,}0\times10^{-9}\\ \mathrm{C}
V(30\\ \text{cm})=-150\\ \mathrm{V}

Exercícios relacionados