Teorema II: A Superfície de um Fluido em Aceleração Linear. Nosso objetivo: deduzir a inclinação da superfície da água em um caminhão-tanque que acelera.
O fluido se move como um "bloco"sólido com aceleração constante
\vec{a}= ( a_{x}, 0,0 ).
(a)
i) Aceleração Convectiva: Como não há escoamento relativo (a distância entre as partículas de fluido não muda), o que podemos dizer sobre as derivadas espaciais da velocidade (como \partial \vec{v} / \partial x )? Qual é, portanto, o valor do termo (\vec{v} \cdot \nabla) \vec{v} ?
ii) Aceleração Local: Todas as partículas estão acelerando juntas. Qual é a taxa de variação da velocidade com o tempo, \partial \vec{v} / \partial t, para qualquer partícula?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e perguntas:
  • Informação: o fluido se move como um “bloco” rígido com aceleração constante \vec{a}=(a_{x},0,0).
  • Pergunta (i): considerando que não há escoamento relativo (distância entre partículas não muda), o que podemos dizer sobre as derivadas espaciais da velocidade, por exemplo \partial \vec{v}/\partial x? E qual é o valor do termo convectivo (\vec{v}\cdot\nabla)\vec{v}?
  • Pergunta (ii): como todas as partículas aceleram juntas, qual é a taxa de variação temporal da velocidade, \partial \vec{v}/\partial t, para qualquer partícula?

Passo 2

Entendendo a estrutura do campo de velocidades quando o fluido se comporta como um bloco rígido: isso significa que a velocidade é a mesma em todos os pontos do espaço, podendo variar apenas no tempo. Logo podemos escrever a velocidade como
\vec{v}(\mathbf{x},t)=U(t)\,\hat{\mathbf{i}},
onde U(t) é a velocidade do bloco ao longo do eixo x e \hat{\mathbf{i}} é o versor em x. Aqui \mathbf{x}=(x,y,z). Note: escrever isso é só formalizar “mesma velocidade em todo lugar, só muda no tempo”.

Passo 3

Sobre as derivadas espaciais da velocidade: se \vec{v}(\mathbf{x},t)=U(t)\,\hat{\mathbf{i}}, então U(t) não depende das coordenadas espaciais x,y,z. Portanto todas as derivadas espaciais são nulas:
\displaystyle \frac{\partial \vec{v}}{\partial x}=\frac{\partial \vec{v}}{\partial y}=\frac{\partial \vec{v}}{\partial z}=\mathbf{0}.
Explicando o porquê: a derivada espacial mede variação da velocidade ao mover-se no espaço; como não há variação espacial, a derivada é zero.

Passo 4

Cálculo do termo convectivo (\vec{v}\cdot\nabla)\vec{v}: por definição esse termo dá-se componente a componente como a projeção da velocidade sobre o gradiente espacial da velocidade. Usando que as derivadas espaciais são zero, obtemos diretamente
\displaystyle (\vec{v}\cdot\nabla)\vec{v}=\mathbf{0}.
Para ver com um cálculo simples: se \vec{v}=(U(t),0,0) então
\displaystyle (\vec{v}\cdot\nabla)\vec{v}=U(t)\frac{\partial}{\partial x}\big(U(t)\,\hat{\mathbf{i}}\big)=U(t)\cdot 0\,\hat{\mathbf{i}}=\mathbf{0}.
(Aqui usei que \partial U/\partial x=0.)

Passo 5

Exemplo didático de contraste: se, ao contrário, houvesse variação espacial, por exemplo \vec{v}=(k x,0,0) com k constante, então
\displaystyle (\vec{v}\cdot\nabla)\vec{v}=(kx)\frac{\partial}{\partial x}(kx)\,\hat{\mathbf{i}}=(kx)\cdot k\,\hat{\mathbf{i}}=k^{2}x\,\hat{\mathbf{i}}\neq\mathbf{0}.
Isso mostra fisicamente que o termo convectivo aparece quando diferentes pontos do fluido têm velocidades diferentes e partículas entram em regiões com velocidades distintas.

Passo 6

Agora o termo temporal \partial \vec{v}/\partial t (aceleração local): como \vec{v}(\mathbf{x},t)=U(t)\,\hat{\mathbf{i}}, a derivada temporal é simplesmente a derivada de U(t):
\displaystyle \frac{\partial \vec{v}}{\partial t}=\frac{dU}{dt}\,\hat{\mathbf{i}}.
Mas o enunciado afirma que a aceleração é constante \vec{a}=(a_{x},0,0), ou seja, cada partícula tem aceleração a_{x} em x. Portanto
\displaystyle \frac{dU}{dt}=a_{x}
e assim
\displaystyle \frac{\partial \vec{v}}{\partial t}=(a_{x},0,0)=\vec{a}.

Passo 7

Ligando tudo pela derivada material (aceleração total da partícula): a aceleração que cada partícula sente é a derivada material
\displaystyle \frac{D\vec{v}}{Dt}=\frac{\partial \vec{v}}{\partial t}+(\vec{v}\cdot\nabla)\vec{v}.
Substituindo os resultados anteriores obtemos
\displaystyle \frac{D\vec{v}}{Dt}=\vec{a}+\mathbf{0}=\vec{a},
coerente com o enunciado de que o bloco acelera com \vec{a}.

Resposta

(i) (\vec{v}\cdot\nabla)\vec{v}=\mathbf{0}.
(ii) \displaystyle \frac{\partial \vec{v}}{\partial t}=(a_{x},0,0)=\vec{a}.

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