Teorema II: A Superfície de um Fluido em Aceleração Linear. Nosso objetivo: deduzir a inclinação da superfície da água em um caminhão-tanque que acelera.
O fluido se move como um "bloco"sólido com aceleração constante
(
).
(a)
i) Aceleração Convectiva: Como não há escoamento relativo (a distância entre as partículas de fluido não muda), o que podemos dizer sobre as derivadas espaciais da velocidade (como
)? Qual é, portanto, o valor do termo
?
ii) Aceleração Local: Todas as partículas estão acelerando juntas. Qual é a taxa de variação da velocidade com o tempo,
, para qualquer partícula?
(a)
ii) Aceleração Local: Todas as partículas estão acelerando juntas. Qual é a taxa de variação da velocidade com o tempo,
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e perguntas:
- Informação: o fluido se move como um “bloco” rígido com aceleração constante
. - Pergunta (i): considerando que não há escoamento relativo (distância entre partículas não muda), o que podemos dizer sobre as derivadas espaciais da velocidade, por exemplo
? E qual é o valor do termo convectivo ? - Pergunta (ii): como todas as partículas aceleram juntas, qual é a taxa de variação temporal da velocidade,
, para qualquer partícula?
Passo 2
Entendendo a estrutura do campo de velocidades quando o fluido se comporta como um bloco rígido: isso significa que a velocidade é a mesma em todos os pontos do espaço, podendo variar apenas no tempo. Logo podemos escrever a velocidade como
,
onde é a velocidade do bloco ao longo do eixo
e
é o versor em
. Aqui
. Note: escrever isso é só formalizar “mesma velocidade em todo lugar, só muda no tempo”.
onde
Passo 3
Sobre as derivadas espaciais da velocidade: se
, então
não depende das coordenadas espaciais
. Portanto todas as derivadas espaciais são nulas:
Explicando o porquê: a derivada espacial mede variação da velocidade ao mover-se no espaço; como não há variação espacial, a derivada é zero.
Explicando o porquê: a derivada espacial mede variação da velocidade ao mover-se no espaço; como não há variação espacial, a derivada é zero.
Passo 4
Cálculo do termo convectivo
: por definição esse termo dá-se componente a componente como a projeção da velocidade sobre o gradiente espacial da velocidade. Usando que as derivadas espaciais são zero, obtemos diretamente
Para ver com um cálculo simples: se então
(Aqui usei que .)
Para ver com um cálculo simples: se
(Aqui usei que
Passo 5
Exemplo didático de contraste: se, ao contrário, houvesse variação espacial, por exemplo
com
constante, então
Isso mostra fisicamente que o termo convectivo aparece quando diferentes pontos do fluido têm velocidades diferentes e partículas entram em regiões com velocidades distintas.
Isso mostra fisicamente que o termo convectivo aparece quando diferentes pontos do fluido têm velocidades diferentes e partículas entram em regiões com velocidades distintas.
Passo 6
Agora o termo temporal
(aceleração local): como
, a derivada temporal é simplesmente a derivada de
:
Mas o enunciado afirma que a aceleração é constante , ou seja, cada partícula tem aceleração
em
. Portanto
e assim
Mas o enunciado afirma que a aceleração é constante
e assim
Passo 7
Ligando tudo pela derivada material (aceleração total da partícula): a aceleração que cada partícula sente é a derivada material
Substituindo os resultados anteriores obtemos
coerente com o enunciado de que o bloco acelera com .
Substituindo os resultados anteriores obtemos
coerente com o enunciado de que o bloco acelera com
Resposta
(i)
(ii)
(ii)